Vektorpotential

En vektorpotential är ett begrepp inom matematikområdet vektoranalys. Ett vektorfält ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sägs ha vektorpotentialen ${\displaystyle \mathbf {A} }$ om

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {A} }$

där ${\displaystyle \nabla }$ är nablaoperatorn, och ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$ är rotationen av ${\displaystyle \mathbf {A} }$[1].

Existens

Att ${\displaystyle \mathbf {F} }$ är ett solenoidalt vektorfält, det vill säga att fältet är divergentfritt och uppfyller ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$ är ekvivalent med att ha ${\displaystyle \mathbf {F} }$ har en vektorpotential.

Om ${\displaystyle \mathbf {V} }$ är ett solenoidalt vektorfält som är två gånger kontinuerligt deriverbart och som minskar tillräckligt när ${\displaystyle |x|\to \infty }$, är

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\mathbf {V} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d\mathbf {y} .}$

en vektorpotential till ${\displaystyle \mathbf {V} }$.

Se även

• Skalärpotential

Källor

1. Persson, Arne; Böiers, Lars-Christer (2005). Analys i flera variabler. Studentlitteratur. ISBN 9789144038698