Sammansatt funktion

En illustration av den sammansatta funktionen g ∘ f.

En sammansatt funktion är inom matematiken en funktion som kan bildas genom att sätta samman två funktioner. Tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas "boll", används för att ange sammansatt funktion. De flesta funktioner som förekommer kan beskrivas som sammansättningar av olika funktioner.

Definition

Vid två givna funktioner f och g definieras sammansättningen av f(x) och g(x) genom

${\displaystyle f\circ g(x)=f(g(x))}$

Här kallas funktionen ${\displaystyle g(x)}$ den inre funktionen och funktionen ${\displaystyle f(x)}$ den yttre funktionen.

Exempel

Exempel på sammansättning av två funktioner

Låt funktionerna ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ och ${\displaystyle g(x)=x-3}$ vara givna.

Vid sammansättning av f och g blir då den sammansatta funktionen ${\displaystyle f\circ g(x)=(x-3)^{2}}$. Variabeln x i funktionen f(x) byts ut mot funktionen g(x).

Betraktas istället sammansättningen av g och f får vi ${\displaystyle g\circ f(x)=x^{2}-3}$ som den sammansatta funktionen. I detta exempel har istället förekomsterna av x i funktionen g(x) bytts ut mot funktionen f(x).

Eftersom till exempel ${\displaystyle f\circ g(4)=(4-3)^{2}=1^{2}=1}$ men ${\displaystyle g\circ f(4)=4^{2}-3=16-3=13}$, är inte ${\displaystyle f\circ g(x)}$ samma funktion som ${\displaystyle g\circ f(x)}$. Med andra ord är ${\displaystyle \circ }$ inte en kommutativ operator.

Ett ytterligare exempel är fallet där ${\displaystyle f(x)=3x}$ och ${\displaystyle g(x)={\frac {x}{3}}}$. I detta exempel är funktionerna varandras inverser. Dessa funktioner möjliggör följande sammansättningar: ${\displaystyle f\circ g(x)=3({\frac {x}{3}})=x}$ och ${\displaystyle g\circ f(x)={\frac {3x}{3}}=x}$.

Detta visar att sammansättningen av en funktion och dess invers är en funktion som lämnar argumentet oförändrat. Sammansättningen avbildar alltså den inre funktionens definitionsmängd på sig själv.

Referenser

• Stewart James, "Calculus" 5th edition, (2003), s. 44-45
• Böiers Lars-Christer, Persson Arne, Analys i en variabel, Tredje upplagan, (2010), Lund: Studentlitteratur, s.92-94