Heine–Borels sats

Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:

En delmängd ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.

Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:

En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

Bevis

Bevis av den första formuleringen; ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhet

Låt ${\displaystyle y\in S^{c}}$ (komplementet till S). För alla ${\displaystyle x\in S}$ existerar disjunkta omgivningar ${\displaystyle B_{x}}$ som innehåller x och ${\displaystyle B_{y}^{x}}$ som innehåller y. Det följer att alla ${\displaystyle B_{x}}$-mängder bildar en öppen övertäckning av S, ${\displaystyle S\subset \bigcup _{x\in S}B_{x}}$. S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder ${\displaystyle B_{x_{1}},...,B_{x_{n}}}$, så att ${\displaystyle G=\bigcap _{k=1}^{n}B_{y}^{x_{k}}}$ är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsning

I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad ${\displaystyle \sup _{x,y\in S}d(x,y)<\infty }$ där d är metriken på S. En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad ${\displaystyle B_{1}(x)}$ för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning ${\displaystyle B_{1}(x_{1}),...,B_{1}(x_{N})}$ som täcker S. Antag att ${\displaystyle x,y\in S}$ och ${\displaystyle x\in B_{1}(x_{i})}$ och ${\displaystyle y\in B_{1}(x_{j})}$, som

${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{i})+d(x_{i},x_{j})+d(x_{j},y)<2+\max _{1\leq m,n\leq N}d(x_{m},x_{n})}$

då x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begränsning ger kompakthet

Om en mängd ${\displaystyle S\in \mathbb {R} ^{n}}$ är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

${\displaystyle S\subseteq [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_{n},b_{n}]}$

med ${\displaystyle a_{k}<b_{k}}$ och ${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} ~~\forall k}$. Kalla denna n-låda för ${\displaystyle T_{0}}$. Man kan nu dela upp ${\displaystyle T_{0}}$ i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då ${\displaystyle 2^{n}}$ dellådor.

Antag att ${\displaystyle T_{0}}$ inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av ${\displaystyle T_{0}}$ måste finnas minst en dellåda till ${\displaystyle T_{0}}$ som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda ${\displaystyle T_{1}}$. Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle 2^{n}}$ dellådor och plocka ut ${\displaystyle T_{2}}$, osv. Man får då en följd av T-mängder

${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset ...\supset T_{k}\supset ...}$

vars längd, projicerat på ${\displaystyle x_{j}}$-axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{j}-a_{j}}{2^{n}}}=0.}$

Då ger Cantors inkapslingssats: ${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{\infty }T_{k}\neq \emptyset .}$, dvs det finns en punkt ${\displaystyle p\in T_{0}}$. Eftersom C täcker S finns en mängd ${\displaystyle A\in S}$ så att ${\displaystyle p\in A}$. Då A är öppen finns ett n-klot ${\displaystyle B(p)\subseteq A}$, så att för tillräckligt stora k gäller ${\displaystyle T_{k}\subseteq B(p)\subseteq A}$, så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka ${\displaystyle T_{k}}$ kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är ${\displaystyle T_{0}}$ kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompakt

Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Låt ${\displaystyle C_{S}}$ vara en öppen övertäckning av S. Om ${\displaystyle C_{S}}$ också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av ${\displaystyle C_{S}}$ som täcker T, anta därför att ${\displaystyle C_{S}}$ inte täcker T.

${\displaystyle S^{c}=\mathbb {R} ^{n}\setminus S}$ är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av ${\displaystyle C_{S}}$. Låt ${\displaystyle C_{T}=C_{S}\cup \{S^{c}\}}$ vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har ${\displaystyle C_{T}'}$ en ändlig delövertäckning. Då ${\displaystyle S^{c}}$ innehåller punkter i T som inte täcks av ${\displaystyle C_{S}}$ måste ${\displaystyle S^{c}\in C_{T}'}$, så att ${\displaystyle C_{T}'=C_{S}'\cup \{S^{c}\}}$, där ${\displaystyle C_{S}'}$ måste vara en ändlig delövertäckning av ${\displaystyle C_{S}}$ eftersom ${\displaystyle S^{c}}$ inte täcker ${\displaystyle S}$ så ${\displaystyle C_{S}'\neq \emptyset .}$