Gränspunkt

För gränspunkter av fastigheter, se gränspunkt (fastighet).

En gränspunkt till en mängd eller följd är inom topologi en sorts punkt som kan "approximeras" av punkter i mängden eller följden.

Det finns olika och delvis motstridiga definitioner av gränspunkt, och det finns också många olika finare distinktioner av begreppet. Låt ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ vara ett icke-tomt topologiskt rum.

En punkt ${\displaystyle p\in X}$ är en gränspunkt till en mängd ${\displaystyle A\subseteq X}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle M_{p}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten, också har minst en punkt, ${\displaystyle x\neq p}$, gemensam med mängden ${\displaystyle A}$. Ibland används även termen hopningspunkt för dessa punkter, men den termen ges oftast en annan innebörd.

En gränspunkt ${\displaystyle p\in X}$ till en mängd ${\displaystyle A}$ är en omega-ackumuleringspunkt till mängden ${\displaystyle A}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle M_{p}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle p}$, också har ett uppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden ${\displaystyle A}$.

En gränspunkt ${\displaystyle p\in X}$ till en mängd ${\displaystyle A}$ är en kondensationspunkt till mängden ${\displaystyle A}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle M_{p}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle p}$, också har ett överuppräkneligt oändligt antal punkter gemensamma med mängden ${\displaystyle A}$.

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ är en gränspunkt till en följd ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ av termer ${\displaystyle x_{n}\in X}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle O_{x}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle x}$, också innehåller nästan alla termer i följden, med undantag av ändligt många.

En punkt ${\displaystyle x\in X}$ kallas ofta en hopningspunkt och ibland en ackumuleringspunkt till en följd ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ av termer ${\displaystyle x_{n}\in X}$ om varje öppen mängd ${\displaystyle O_{x}\in {\mathcal {T}}}$ som innehåller punkten ${\displaystyle x}$, också innehåller ett uppräkneligt oändligt antal termer ur följden.

Se även

• Randpunkt
• Hopningspunkt