Gauss-Bonnets sats

Gauss-Bonnets sats är ett resultat inom differentialgeometrin som beskriver hur en ytas krökning förhåller sig till ytans Eulerkarakteristik.

Antag att ${\displaystyle M}$ är en tvådimensionell Riemannmångfald med randen ${\displaystyle \partial M}$, ${\displaystyle K}$ är Gausskrökningen av ${\displaystyle M}$, samt att ${\displaystyle k_{g}}$ är den geodetiska krökningen av ${\displaystyle \partial M}$. Då är

${\displaystyle \int _{M}KdA+\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi \chi (M).}$

Här är ${\displaystyle dA}$ ett litet ytelement och ${\displaystyle ds}$ ett litet linjesegment. ${\displaystyle \chi (M)}$ betecknar eulerkarakteristiken av ${\displaystyle M}$.