Energiekvationen

Energiekvationen bygger på Reynolds transportteorem (RTT) där den extensiva storheten B står för energi. Den intensiva storheten β blir då energi per enhet massa:

${\displaystyle \beta ={dE \over dm}={\mathit {e}}}$

Grundform

Energiekvationen kan förenklas beroende på förhållanden men skrivs i grundform som:

${\displaystyle {dE \over dt}_{syst}={dQ \over dt}-{dW \over dt}={d \over dt}{\Big (}\int _{kv}{\mathit {e}}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}{\mathit {e}}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA}$

där Q står för värme, W för arbete (alltså står ${\displaystyle {dQ \over dt}={\dot {Q}}}$ för överfört värme per tidsenhet och ${\displaystyle {dW \over dt}={\dot {W}}}$ för arbete per tidsenhet), kv för kontrollvolym och ky för kontrollyta. V är en hastighetsvektor och n är en enhetsvektor (negativ för inflöde och positiv för utflöde). e är summan av:

${\displaystyle {\mathit {e}}={\mathit {e}}_{intern}+{\mathit {e}}_{kinetisk}+{\mathit {e}}_{potentiell}+{\mathit {e}}_{annan}}$

Den sista termen övrig rör kemiska eller nukleära reaktioner alternativt magnetfält och är därför nästan alltid lika med noll. e kan då skrivas om med ${\displaystyle {\hat {u}}}$ som intern energi och längden z ritkad uppåt:

${\displaystyle {\mathit {e}}={\hat {u}}+{V^{2} \over 2}+gz}$

Arbete per tidsenhet består av axelarbetet ${\displaystyle {\dot {W}}_{s}}$, de viskösa spänningarnas arbete ${\displaystyle {\dot {W}}_{v}}$ samt tryckkrafternas arbete ${\displaystyle {\dot {W}}_{p}}$. De två senare är:

${\displaystyle {\dot {W}}_{p}=\int _{ky}p{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA}$ ${\displaystyle {\dot {W}}_{v}=-\int _{ky}\mathbf {\tau } \cdot \mathbf {V} dA}$

Där p är trycket i fluiden och ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$ är spänningsvekorn. Alltså är arbetet (notera att de viskösa spänningarnas arbete är negativt):

${\displaystyle {\dot {W}}={\dot {W}}_{s}+\int _{ky}p{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA-\int _{ky}\mathbf {\tau } \cdot \mathbf {V} dA}$

Energiekvationen kan då skrivas om till:

${\displaystyle {\dot {Q}}-{\dot {W}}_{s}-{\dot {W}}_{v}={d \over dt}{\Bigg [}\int _{kv}{\Big (}{\hat {u}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho dV{\Bigg ]}+\int _{ky}{\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA}$

${\displaystyle {\hat {h}}}$ står för entalpi och definieras som ${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {u}}+{p \over \rho }}$.

Endimensionellt in- och utflöde

${\displaystyle \int _{ky}{\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=\sum {\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}_{ut}{\dot {m}}_{ut}-\sum {\Big (}{\hat {h}}+{V^{2} \over 2}+gz{\Big )}_{in}{\dot {m}}_{in}}$

Stationär strömning, ett endimensionellt inlopp samt ett endimensionellt utlopp

${\displaystyle {\hat {h}}_{1}+{V_{1}^{2} \over 2}+gz_{1}={\hat {h}}_{2}+{V_{2}^{2} \over 2}+gz_{2}-q+w_{s}+w_{v}}$

där ${\displaystyle q={{\dot {q}} \over {\dot {m}}}\ \ \ w_{s}={{\dot {Q}} \over {\dot {m}}}\ \ \ w_{v}={{\dot {W}}_{v} \over {\dot {m}}}}$

Se även

• Bernoullis ekvation
• Kanalströmning
• Rörströmning
• Vattenpotential