Слева полная матрица плотности
ρ ρ -->
A
B
{\displaystyle \rho _{AB}}
двухчастичной системы. Справа редуцированная матрица плотности
ρ ρ -->
A
{\displaystyle \rho _{A}}
первой частицы полученная как частичный след для второй частицы.
В линейной алгебре частичный след обобщает понятие след матрицы . Cлед линейного оператора является скаляром , тогда как частичный след сам является линейным оператором . Частичный след применяется в квантовой информатике и теории декогеренции .
Определение
Для любого пространства
A
{\displaystyle A}
, обозначим пространство линейных операторов на
A
{\displaystyle A}
нем как
L
(
A
)
{\displaystyle L(A)}
.
Пусть
V
{\displaystyle V}
,
W
{\displaystyle W}
являются конечномерными векторными пространствами над полем с размерностями
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
соответственно.
Пусть базисами в V иW будут соответственно
v
1
,
… … -->
,
v
m
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}
, и
w
1
,
… … -->
,
w
n
{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
.
Частичный след
Tr
W
{\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}}
для пространства
W
{\displaystyle W}
, это отображение
{
a
k
ℓ ℓ -->
,
i
j
}
=
A
∈ ∈ -->
L
-->
(
V
⊗ ⊗ -->
W
)
↦ ↦ -->
{
b
k
,
i
}
=
Tr
W
-->
(
A
)
∈ ∈ -->
L
-->
(
V
)
{\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr} _{W}(A)\in \operatorname {L} (V)}
заданное соотношением
b
k
,
i
=
∑ ∑ -->
j
=
1
n
a
k
j
,
i
j
.
{\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}
Линейный оператор заданный таким образом не зависит от выбора базиса
v
1
,
… … -->
,
v
m
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}
, и
w
1
,
… … -->
,
w
n
{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
.
Частичный след как квантовая операция
Рассмотрим двухчастичные состояния. Чистые вектора-состояния принадлежат гильбертову пространству
H
A
⊗ ⊗ -->
H
B
{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}
, а матрицы плотности, соответственно,
H
A
⊗ ⊗ -->
H
B
⊗ ⊗ -->
H
A
∗ ∗ -->
⊗ ⊗ -->
H
B
∗ ∗ -->
{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}}
. Рассмотрим матрицу плотности
ρ ρ -->
A
B
∈ ∈ -->
H
A
⊗ ⊗ -->
H
B
⊗ ⊗ -->
H
A
∗ ∗ -->
⊗ ⊗ -->
H
B
∗ ∗ -->
{\displaystyle \rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}}
.
{
|
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\}}
и
{
|
i
⟩
B
}
{\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}}
— базисы пространств
H
A
{\displaystyle H_{A}}
и
H
B
{\displaystyle H_{B}}
соответственно.
Тогда подсистема
A
{\displaystyle A}
описывается матрицей плотности
ρ ρ -->
A
=
Tr
B
-->
(
ρ ρ -->
A
B
)
=
∑ ∑ -->
|
i
⟩
B
⟨
i
|
B
ρ ρ -->
A
B
|
i
⟩
B
{\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{{\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B}}}
Литература