Разложение на ручки

Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$

где каждое ${\displaystyle M_{i}}$ получается из ${\displaystyle M_{i-1}}$ путём присоединения ${\displaystyle i}$-ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру ${\displaystyle S^{n}}$ с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения ${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$ в окрестности ${\displaystyle S^{n-1}}$.

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность ${\displaystyle N_{p}}$ диффеоморфна ${\displaystyle D^{m}}$. Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение ${\displaystyle N_{p}}$ и ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$, склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$, её трубчатая окрестность диффеоморфна ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$. Это позволяет записать ${\displaystyle M}$ как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

1. ${\displaystyle D^{m}}$
2. ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$
3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$.

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ с ${\displaystyle D^{m}}$, отношение эквивалентности образуется путём вложения ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$ в ${\displaystyle \partial D^{m}}$, которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл[1]. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение ${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}}$ в ${\displaystyle \partial M}$. Пусть ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}}$. Многообразие ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle H^{j}}$ с отождествлением ${\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}}$ с его образом в ${\displaystyle \partial M}$, то есть:

${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$

где отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ задаётся как ${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$ для всех ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$.

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия ${\displaystyle M}$ определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось ${\displaystyle M}$ . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

Терминология

Возьмём объединение M с j-ручкой ${\displaystyle H^{j}}$:

${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$ называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой)[2].

${\displaystyle f}$ иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$ является опоясывающей сферой ручки ${\displaystyle H^{j}}$ в ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$.

Многообразие, полученное присоединением ${\displaystyle g}$ копий ${\displaystyle k}$-ручек к диску ${\displaystyle D^{m}}$, является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмов

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ и фильтрации

${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$

где ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$ являются ${\displaystyle m}$-мерными многообразиями, ${\displaystyle W}$— ${\displaystyle m+1}$-мерным, ${\displaystyle W_{-1}}$ диффеоморфно ${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$, а ${\displaystyle W_{i}}$ получается из ${\displaystyle W_{i-1}}$ путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории Морса

Если задана функция Морса ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ на компактном многообразии M без края, таком что критические точки ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$ функции ${\displaystyle f}$ удовлетворяют ${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$ и выполняется

${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}}$,

тогда для всех j ${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$ диффеоморфно ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$, где ${\displaystyle I(j)}$ — индекс критической точки ${\displaystyle p_{j}}$. Индекс ${\displaystyle I(j)}$ соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства ${\displaystyle T_{p_{j}}M}$, где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству ${\displaystyle I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)}$, то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм ${\displaystyle W}$ с ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ и функция ${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$, которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если ${\displaystyle f}$ — функция Морса ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle -f}$ также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюдения

• Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова ${\displaystyle T^{1}}$, а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
• Если присоединить две ручки в последовательности ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$, можно изменить порядок присоединения, обеспечивая ${\displaystyle j\leqslant i}$, то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$ для подходящих отображений присоединения.
• Граница ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ диффеоморфна ${\displaystyle \partial M}$, разрезанному вдоль оснащённой сферы ${\displaystyle f}$. Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
• Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из ${\displaystyle S^{m}}$ хирургией на наборе оснащённых зацеплений в ${\displaystyle S^{m}}$. Например, известно, что любое 3-многообразие является границей 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
• Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. также

• Ручка Кассона^[англ.]
• Теория [ко]бордизмов
• CW-комплекс
• Тело с ручками
• Исчисление Кирби^[англ.]
• Разложение многообразия^[англ.]

Примечания

1. Smale, 1962, с. 387–399.
2. Скорпан, 2016, с. 46.

Литература

• Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
  • Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
• Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.

Основная литература

• Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
• Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.