Начал заниматься футболом в кировоградской ДЮСШ-2. Первый тренер — Вадим Бондарь. В чемпионате ДЮФЛ Украины выступал за кировоградскую «Звезду» и команду полтавской ДЮСШ им. И. Горпинко. В 2000 году провёл 12 матчей за кировоградскую «Артемиду» в Любительском чемпионате Украины.
«Ворскла» и «Ворскла-2»
Начал играть в полтавской «Ворскле» в 2001 году. Но сначала (до 2004 года) играл за фарм-клуб — «Ворсклу-2», сыграв 56 игр и пропустив 91 мяч. В 2005 году дебютировал за первую команду «Ворсклы». Всего за первую команду «Ворсклы» игрок сыграл 43 матча и пропустил 41 гол. В 2006 году покинул клуб в связи с переходом в донецкий «Шахтёр».
«Шахтёр» (Донецк)
В «Шахтёре» с 13 декабря 2006 года. Перешёл туда за 6 млн гривен. Но «Шахтёр» разрешил игроку остаться до конца сезона 2006/07 в своём прошлом клубе на правах аренды. В следующем сезоне Андрей победил в конкуренции с Богданом Шустом. В 2009 году конкуренция у него выросла. Это произошло после усиления состава команды Рустамом Худжамовым который достигал своего расцвета. После новой борьбы Пятов вновь сохранил место в составе. Вместе с «Шахтёром» победил в Кубке УЕФА 2008/09. В матче против «Черноморца» сыграл свою 100-ю игру за «Шахтёр». В сезоне 2011/12 полностью проигрывал Александру Рыбке на своей позиции и потерял место в основе, но после дисквалификации Александра закрепился там. Уже в сезоне 2015/16 Андрей был на 2-м месте среди вратарей, отражающих пенальти.
19 октября 2018 года сыграл свой 400-й матч за «Шахтёр»[4], в котором «горняки» дома минимально победили «Десну» (1:0)[5].
Сыграл первый матч сборной Украины в отборе на чемпионат мира 2010, против сборной Беларуси, который отстоял «на ноль» (1:0). Провёл следующие матчи против сборных Казахстана (1:3 победа Украины), Хорватии (0:0), Англии (2:1 победа Англии) и Андорры (5:0 победа Украины). Лишь матч против сборной Казахстана провёл Станислав Богуш. Играл в плей-офф отбора. Первый матч против сборной Греции отстоял «на ноль», а в следующем матче пропустил гол и Украина не квалифицировалась.
Перед чемпионатом Европы 2012, который Украина проводила совместно с Польшей, сборная Украины начала терять своих вратарей. Травмы получили Андрей Дикань и Александр Шовковский, а Александр Рыбка был дисквалифицирован. Поэтому в составе сборной, на домашнее Евро, попали Пятов, Александр Горяинов и Максим Коваль. Но сборная Украины выбыла из турнира, заняв 3-е место в группе, отстав от сборной Франции всего на 1 очко. Пятов на турнире сыграл все 3 матча, пропустив 4 мяча. 13 ноября 2012 стало известно, что Андрей назначен на один товарищеский матч тренером вратарей сборной Украины.
Сыграл все матчи сборной Украины в отборе на Чемпионат Мира 2014. Стал участником матча против сборной Сан-Марино, в котором Украина добыла свою самую большую победу в истории (9:0). Играл в матче плей-офф против сборной Франции. В первом матче Андрей не пропустил мячей, но в следующем украинцы не удержали преимущество и не квалифицировались на турнир.
Сыграл все матчи отбора на чемпионат Европы 2016. Украина не смогла выйти на Евро из группы напрямую. В последнем матче группового этапа отбил пенальти от игрока сборной ИспанииСеска Фабрегаса, но и пропустил один мяч от Марио Гаспара. Провёл два матча плей-офф со сборной Словении, в которых сделал очень много сейвов и очень быстро реагировал на удары. Украина по сумме двух матчей выиграла со счётом 3:1 и прошла квалификацию
Сыграл все матчи сборной на Чемпионате Европы 2016 года. После первых двух туров стал лидером первенства по количеству сейвов, сыграв матчи против сборных Германии и Северной Ирландии. В обоих пропустил по 2 мяча. После них Украина покинула Евро.
В отборе на чемпионат мира 2018 сыграл все матчи. Украинцы заняли 3 место с 17 очками и не квалифицировались на турнир.
В группе «жёлто-синие» проиграли 3 матча — два сборной Хорватии и один — Исландии. В сумме в 10 матчах Пятов пропустил 9 голов, что является одним из лучших показателей среди вратарей сборных, которые не квалифицировались.
После завершения чемпионата Европы 2020 принял решение завершить выступления за национальную сборную Украины и сосредоточится на выступлениях за клуб[7], однако уже в августе 2021 года был снова вызван в сборную на отборочные матчи чемпионата мира 2022 года в связи с травмами Георгия Бущана и Анатолия Трубина[8].
9 октября 2021 года отборочный матч к чемпионату мира 2022 года против Финляндии стал для Пятова юбилейным, 100-м в составе сборной Украины[9]. Он стал пятым игроком, которому покорился этот гвардейский рубеж[9]. Пятов в возрасте 37 лет и 103 дней стал самым возрастным игроком в истории сборной Украины, обойдя Анатолия Тимощука (37 лет и 83 дня)[10][11].