Заниматься борьбой начал в 5-м классе у тренера Р. А. Рашидова в ДЮСШ № 1. Неоднократно побеждал на районных соревнованиях. Позже переехал в Харьков и поступил в ХИМЭСХ. Его тренерами в разное время были Станислав Батозский, Леонид Гринь, Виктор Езан, Абдулгани Даудов. Караев был неоднократным чемпионом и призёром Украины, многих международных соревнований в составе сборной команды СССР. Также становился серебряным призёром Кубка СССР.
С 2000 по 2003 год работал тренером общества «Колос» на базе института ХИМЭСХ. С 2008 по 2012 год был тренером-воспитателем по вольной борьбе Харьковской ДЮСШ № 1.
В Харькове живет семья. Жена, трое детей и брат.
Умер 24 декабря 2012 года.
Память
30 Сентября 2015 года в Лицее имени О. Батырая (Сергокала) была установлена мемориальная плита Мураду Караеву[1].
С 2017 года в Харькове проводится Турнир по вольной борьбе памяти Мурада Караева[2].