Используются в вариационном исчислении[B: 1], в анализе сигналов[B: 2], и других приложениях функционального анализа.
В ранних работах в качестве предпочтительного синонима использовался термин координатная функция.[1] Базисная функция может называться также базисным вектором, если базис определен в линейном пространстве.[B: 3]
Наборы базисных функций обладают тем свойством, что все функции из данного функционального пространства (с учётом некоторых ограничений) могут быть представлены как их линейная комбинация.[B: 2][a 1]
В ортогональных функциональных пространствах исходную функцию можно представить набором (вектором) коэффициентов её разложения. Такое свойство позволяет заменять трудоёмкие вычисления на более простые алгебраические операции непосредственно в функциональном пространстве.[B: 2][a 1]
Примеры
Любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд Тейлора.
В качестве ортогонального базиса часто оказывается удобным выбирать функции, широко используемые в математической физике, такие как классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), гипергеометрические и вырожденные гипергеометрические функции.[2]
↑Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
↑ 123Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устинин М. Н., Дедус А. Ф. Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. — М.: Машиностроение, 1999. — 356 с. — (Задачи анализа изображений и распознавания образов). — ISBN 5-217-02929-3.
↑Кутателадзе С. С.Основы функционального анализа. — 4 изд., испр.. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — xii+354 с. — 200 экз. — ISBN 5–86134–103–6. Архивировано 28 ноября 2014 года.
Статьи
↑ 12Pankratov A. N. On the implementation of algebraic operations on orthogonal function series (англ.) // Computational mathematics and mathematical physics : журнал. — 2004. — Vol. 44, no. 12. — P. 2017–2023.