Abc-гипотеза

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].

Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел, и остается таковой до сих пор. Статус этой проблемы в настоящее время спорный. Подтвердить или опровергнуть доказательство Мотидзуки, полученное в 2012 году, пока не удалось.

Формулировка

Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует постоянная ${\displaystyle K(\varepsilon )}$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, таких, что ${\displaystyle a+b=c}$, выполняется неравенство

${\displaystyle \max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ — радикал числа ${\displaystyle abc}$, то есть число, равное произведению простых делителей произведения ${\displaystyle abc}$.

Замечания

• Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда неравенство сводится к следующему:

  ${\displaystyle c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.}$

• Условие ${\displaystyle \varepsilon >0}$ необходимо. Для любого ${\displaystyle K}$ существует тройка взаимно простых чисел ${\displaystyle a,b,c=a+b}$ таких, что ${\displaystyle c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)}$. Например тройка вида ${\displaystyle a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}}$, где ${\displaystyle K<3^{n-1}}$.

Следствия

Гипотеза Била и Великая теорема Ферма

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].

Доказательство гипотезы Била на основе abc-гипотезы

Согласно гипотезе Била, если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — натуральные и ${\displaystyle x,\;y,\;z>2}$), то ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество ${\displaystyle z}$, для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{1+\varepsilon }}$

Учтём, что ${\displaystyle \operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad} (ABC)\leqslant ABC}$. Поэтому:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (ABC)\right)^{1+\varepsilon }\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^{1+\varepsilon }}$

Поскольку из условий теоремы очевидно, что ${\displaystyle A<C}$ и ${\displaystyle B<C}$, то ${\displaystyle ABC\leqslant C^{3}}$. Тогда:

${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{3+3\varepsilon }}$

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на ${\displaystyle \log C}$, получим ограничение сверху на величину ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}+3+3\varepsilon }$,        (*)

причём, отношение ${\displaystyle {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}}$ должно быть конечным, поскольку, по условию ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — натуральные (то есть ${\displaystyle A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2}$)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение ${\displaystyle z}$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ ошибочно. Для оставшегося конечного количества ${\displaystyle z}$ справедливость гипотезы Била можно доказать численно.

Гипотезы Пиллаи и Каталана

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Попытки доказательства

В 2007 году французский математик Люсьен Шпиро^[англ.], работами которого была вдохновлена сама abc-гипотеза, заявил, что ему удалось найти доказательство, однако вскоре было обнаружено, что оно ошибочно[4].

Доказательство Мотидзуки

В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[5][6]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов[7].

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[8]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[9]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[10]. Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[10][11], в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки.

В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка[12][7]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[13].

На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS) научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — института, в котором работает Мотидзуки[14][15]. В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS[16].

См. также

• Гипотеза Холла
• Теорема Мэйсона — Стотерса

Примечания

1. D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25.
2. J. Oesterlé. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179. Архивировано 2 ноября 2012 года.
3. R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1437. Архивировано 28 июля 2012 года.
4. Philip Ball. Proof claimed for deep connection between primes (англ.) // Nature. — 2012-09-10. — ISSN 1476-4687. — doi:10.1038/nature.2012.11378. Архивировано 9 октября 2023 года.
5. "Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы". Lenta.ru. 2012-09-11. Архивировано 14 сентября 2012. Дата обращения: 11 сентября 2012.
6. Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Архивная копия от 2 февраля 2021 на Wayback Machine
7. David Michael Roberts. A Crisis of Identification : [арх. 29 января 2021] // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
8. IUTeich Verification Report 2013-12 Архивная копия от 13 сентября 2014 на Wayback Machine, IUTeich Verification Report 2014-12 Архивная копия от 22 января 2015 на Wayback Machine
9. «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. Архивная копия от 27 ноября 2015 на Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
10. Timothy Revell. Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’  (неопр.). New Scientist (7 сентября 2017). Дата обращения: 8 декабря 2017. Архивировано 23 декабря 2017 года.
11. Caroline Chen. The Paradox of the Proof  (неопр.) (4 мая 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Архивировано 16 сентября 2013 года. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства  (неопр.) (17 июня 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Архивировано 14 сентября 2016 года.
12. Klarreich, Erica (2018-09-20). "Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture". Quanta. Архивировано 14 марта 2021. Дата обращения: 21 сентября 2018. Перевод: Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы Архивная копия от 12 октября 2018 на Wayback Machine
13. Mochizuki, Shinichi Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory  (неопр.). Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 9 ноября 2018 года.
    Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory  (неопр.). Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 21 сентября 2018 года.
    Mochizuki, Shinichi Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory  (неопр.). Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 24 октября 2018 года.
14. Журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences несмотря ни на что опубликует работу математика Синъити Мотидзуки с доказательством гипотезы Эстерле — Массера Архивная копия от 11 июня 2020 на Wayback Machine // Лента.Ру, 3 апреля 2020
15. Nature (Великобритания): математическое доказательство, которое потрясет теорию чисел, готовится к публикации  (неопр.). Дата обращения: 12 апреля 2020. Архивировано 12 апреля 2020 года.
16. Mochizuki, Shinichi Mochizuki's proof of ABC conjecture  (неопр.). Дата обращения: 14 июля 2021. Архивировано 3 мая 2021 года.

Литература

• Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи». — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Ссылки

• Лекции про ABC-гипотезу (by Keith Conrad): Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4.
• Р. Борчердс, Undergraduate math talk: The abc conjecture на YouTube.