ARIMA

Не следует путать с Arima.

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель ${\displaystyle ARIMA(p,d,q)}$ означает, что разности временного ряда порядка ${\displaystyle d}$ подчиняются модели ${\displaystyle ARMA(p,q)}$.

Формальное определение модели

Модель ${\displaystyle ARIMA(p,d,q)}$ для нестационарного временного ряда ${\displaystyle X_{t}}$ имеет вид:

${\displaystyle \triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}\varepsilon _{t-j}+\varepsilon _{t}}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ — стационарный временной ряд;

${\displaystyle c,a_{i},b_{j}}$ — параметры модели.

${\displaystyle \triangle ^{d}}$ — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как ${\displaystyle ARMA(p+d,q)}$- модель с ${\displaystyle d}$ единичными корнями. При ${\displaystyle d=0}$ имеем обычные ${\displaystyle ARMA}$-модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора ${\displaystyle L:~Lx_{t}=x_{t-1}}$ данные модели можно записать следующим образом:

${\displaystyle (1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d}X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}}$,

или сокращённо:

${\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}}$.

где ${\displaystyle a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}}$

${\displaystyle b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}}$

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

${\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t}}$

Следовательно это модель ${\displaystyle ARIMA(0,1,0)}$.

Интегрированные временные ряды

Основная статья: Интегрированный временной ряд

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной ${\displaystyle X_{t}}$ ряд называется интегрированным порядка ${\displaystyle k}$ (обычно пишут ${\displaystyle X_{t}\sim I(k)}$), если разности ряда порядка ${\displaystyle k}$, то есть ${\displaystyle \triangle ^{k}x_{t}}$ являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности ${\displaystyle I(0)}$ — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок ${\displaystyle d}$ модели ${\displaystyle ARIMA(p,d,q)}$.

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка ${\displaystyle d}$).

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности ${\displaystyle d}$ временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия ${\displaystyle d}$-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных ${\displaystyle d}$ (разложение в ряд Тейлора):

${\displaystyle \triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(d-j){\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}}$.

Литература

• Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6.
• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3.