Энстрём родился в Нурдингро, затем переехал в соседний Эрншёльдсвик. Начинал играть в молодёжной команде «МОДО», позже дебютировал в основной команде, где был избран лучшим новичком сезона.
На драфте НХЛ 2003 года был выбран клубом «Атланта Трэшерз» в восьмом раунде под общим 239-м номером.
В сезоне 2006/07 стал чемпионом Швеции в составе «МОДО», в плей-офф набрал больше всех голевых передач.
В конце мая 2007 года подписал двухлетний контракт с клубом «Атланта Трэшерз». В тренировочном лагере смог пробиться в основной состав команды. 23 октября 2007 года Энстрём забил свой первый гол в НХЛ вратарю Веса Тоскала из «Торонто Мэйпл Лифс». В первых трёх сезонах в НХЛ не пропустил ни одного матча своего клуба. В сезоне 2010/11 он сломал палец, блокируя бросок в игре против «Нью-Йорк Рейнджерс», после чего пропустил 6 матчей и прервал свою серию из 296 сыгранных игр подряд. Кроме того, из-за травмы Энстрём также вынужден был пропустить матч всех звёзд НХЛ[1], куда он был приглашён вместе с товарищем по команде Дастином Бафлином.
Наибольшее количество очков, набранных защитником за клуб (Атланта Трэшерз) - 108 (16 января 2010 против Каролина Харрикейнз) (превзошёл Янника Трамбле)
Наибольшее количество передач, набранных защитником за сезон (Атланта Трэшерз) - 44 (16 января 2010 против Каролина Харрикейнз)
Рекордсмен по количеству сыгранных матчей подряд - 296 (22 января 2011 против Нью-Йорк Рейнджерс) (превзошёл Вячеслава Козлова)