Уроженец Сандерленда, Эллиотт начал футбольную карьеру в клубах «Редкар Крузейдерс» и «Саут Бэнк». В мае 1909 года перешёл в «Мидлсбро». Изначально выступал за позиции правого инсайда, но впоследствии закрепился на позиции центрфорварда[1]. В сезоне 1913/14 стал лучшим бомбардиром Первого дивизиона (31 гол). Был лучшим бомбардиром «Боро» в сезонах 1910/11, 1911/12, 1912/13, 1913/14, 1919/20 и 1920/21. В военное время в качестве гостя выступал за шотландский «Селтик», сыграв один матч в чемпионате Шотландии[2]. Всего провёл за «Мидлсбро» 365 матчей и забил 213 мячей. В мае 1925 года объявил о завершении карьеры[3].
После завершения карьеры игрока работал грузовым инспектором в доках Мидлсбро. В августе 1925 года, управляя автомобилем, насмерть сбил 11-летнего подростка, однако был оправдан присяжными. В сентябре 1926 года был оштрафован и лишён прав за вождение в нетрезвом виде[3].
