Экспоненциальное отображение

Пробраз поверхности Земли при экспоненциальном отображении к северному плюсу.

Экспоненциальное отображение — обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения ${\displaystyle TM}$ в само многообразие ${\displaystyle M}$.

Экспоненциальное отображение обычно обозначается ${\displaystyle \exp \colon TM\to M}$, а его сужение на касательное пространство ${\displaystyle T_{p}M}$ в точке ${\displaystyle p\in M}$ обозначается ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}M\to M}$ и называется экспоненциальным отображением в точке ${\displaystyle p}$.

Определение

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ — риманово многообразие и ${\displaystyle p\in M}$. Для каждого вектора ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ существует единственная геодезическая ${\displaystyle \gamma _{v}(t)}$, выходящая из точки ${\displaystyle p}$ (то есть ${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$), такая, что ${\displaystyle \gamma _{v}'(0)=v}$.

Экспоненциальное отображение вектора ${\displaystyle v}$ есть точка ${\displaystyle \gamma _{v}(1)\in M}$, или ${\displaystyle \exp _{p}v=\gamma _{v}(1)}$.

Свойства

• ${\displaystyle \exp _{p}(0)=p}$.

• Для каждой точки ${\displaystyle p\in M}$ существует такое число ${\displaystyle \varepsilon >0}$, что экспоненциальное отображение ${\displaystyle \exp _{p}}$ определено для всех векторов ${\displaystyle v\in T_{p}M}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle |v|\leq \varepsilon }$.
  • Более того, ${\displaystyle \exp _{p}}$ является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве ${\displaystyle T_{p}M}$ в некоторую окрестность точки ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$. Таким образом, в некоторой окрестности точки ${\displaystyle p}$ многообразия ${\displaystyle M}$ определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое ${\displaystyle \log _{p}}$), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства ${\displaystyle T_{p}M}$.

• В метрически полном римановом многообразии экспоненциальное отображение определено для любого касательного вектора (Теорема Хопфа — Ринова).

• Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке ${\displaystyle p}$ является тождественным линейным оператором. То есть

  ${\displaystyle (d_{p}\exp _{p})(v)=v}$

для любого ${\displaystyle v\in T_{p}M}$. Здесь мы отождествляем пространство, касательное к ${\displaystyle T_{p}M}$, с ним самим.

• (Лемма Гаусса о геодезических) Для любых ${\displaystyle x,v\in T_{p}}$

  ${\displaystyle g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,}$

где ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

• Для групп Ли с биинвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой^[англ.].

Ссылки

• А. В. Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (ГЛАВА 10)

Литература

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• М. М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.