Эквиаффинная геометрия

Эквиаффи́нная, или унимодуля́рная[1], геоме́трия (от глат. unus — один[2] и модуль), — геометрия аффинной унимодулярной группы преобразований. Важнейший факт — сохранение площадей и объёмов фигур[3][4][1][5][6].

Аналитическое представление аффинной группы на плоскости в неоднородных координатах, имеющее вид

${\displaystyle x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}$,

${\displaystyle y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}$,

есть представление также и унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен ${\displaystyle \pm 1}$[7]:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}=\pm 1}$.

Поскольку аффинная унимодулярная группа есть подгруппа общей аффинной группы, множество всех объектов эквиаффинной геометрии включает в себя множество всех объектов общей аффинной геометрии. При этом эквиаффинная геометрия имеет объекты, которых нет в общей аффинной геометрии, так как множество инвариантов общей аффинной группы есть подмножество инвариантов аффинной унимодулярной группы[1].

Площадь треугольника с произвольными вершинами ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1}),}$ ${\displaystyle M_{2}(x_{2},y_{2})}$ и ${\displaystyle M_{3}(x_{3},y_{3})}$ — абсолютная величина ${\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}\Delta \right|,}$ где определитель[1]

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}.}$

Имеет место следующее утверждение[1]:

• площадь треугольника с тремя любыми вершинами на аффинной плоскости есть инвариант трёх точек унимодулярной аффинной группы.

Доказательство[1]

Пусть аффинное унимодулярное преобразование отображает три любые точки аффинной плоскости ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1}),}$ ${\displaystyle M_{2}(x_{2},y_{2})}$ и ${\displaystyle M_{3}(x_{3},y_{3})}$ в три точки соответственно ${\displaystyle M_{1}^{\prime }(x_{1}^{\prime },y_{1}^{\prime }),}$ ${\displaystyle M_{2}^{\prime }(x_{2}^{\prime },y_{2}^{\prime })}$ и ${\displaystyle M_{3}^{\prime }(x_{3}^{\prime },y_{3}^{\prime })}$. Прямым вычислением, используя свойства определителя, перепишем определитель:

${\displaystyle \Delta ^{\prime }={\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}^{\prime }&x_{2}^{\prime }&x_{3}^{\prime }\\y_{1}^{\prime }&y_{2}^{\prime }&y_{3}^{\prime }\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&1&1\\c_{1}&c_{1}&c_{1}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}+}$ ${\displaystyle {}+{\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}1&1&1\\a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}&a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}&a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =a_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}+{}}$
${\displaystyle {}+b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =a_{1}a_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{vmatrix}}+a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+{}}$
${\displaystyle {}+b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+{}}$
${\displaystyle {}+b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}&a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}&a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+a_{2}b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =a_{1}b_{2}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}b_{1}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=}$
${\displaystyle =\pm {\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=\pm \Delta .}$

Итак, ${\displaystyle \Delta ^{\prime }=\pm \Delta }$, то есть абсолютная величина определителя ${\displaystyle \Delta }$ матрицы ${\displaystyle 3\times 3}$ — инвариант трёх произвольных точек ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1}),}$ ${\displaystyle M_{2}(x_{2},y_{2})}$ и ${\displaystyle M_{3}(x_{3},y_{3})}$ унимодулярной аффинной группы.

Отсюда в эквиаффинной геометрии можно определить следующие площади[1]:

• площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит;
• площадь криволинейной фигуры равна пределу последовательности площадей многоугольников, сходящихся к фигуре.

Примечания

1. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 165. Аффинная унимодулярная группа, с. 420.
2. Унимодулярная группа, 1988.
3. Сидоров Л. А. Эквиаффинная геометрия, 1985.
4. Сидоров Л. А. Эквиаффинная плоскость, 1985.
5. Бескин Н. М. Методы изображений, 1963, 5.4. Понятие о центральной аксонометрии, с. 284.
6. Широков А. П. Аффинная унимодулярная группа, 1977.
7. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 165. Аффинная унимодулярная группа, с. 418—419.

Источники

• Бескин Н. М. Методы изображений // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 228—290.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Сидоров Л. А. Эквиаффинная геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
• Сидоров Л. А. Эквиаффинная плоскость // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 942.
• Подера // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 601.
• Широков А. П. Аффинная унимодулярная группа // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 359.