В 1922 году окончил Тбилисский государственный университет (первый выпуск)[1]. Преподавал в Университете, занимал в нём должности доцента (1926—1933) и профессора (1933—1985), возглавлял кафедру кавказских исследований (1933—1960). Также руководил отделом т. н. «иберийско-кавказских языков» в Институте языкознания АН Грузинской ССР (1936—1985). Этот институт, который Чикобава возглавлял краткое время (1950—1952), сейчас носит его имя.
В 1941 году при основании Академии наук Грузинской ССР был избран её действительным членом, член её президиума в 1950—1963.
Автор и редактор серии словарей и публикаций по кавказскому языкознанию. Придерживался идеи генетического единства картвельских, абхазо-адыгских и нахско-дагестанских языков («иберийско-кавказские языки»; данная точка зрения в настоящее время отвергнута научным сообществом). Главный редактор «Ежегодника иберийско-кавказского языкознания», издававшегося с 1974 года.
Был непримиримым борцом против «нового учения о языке» Н. Я. Марра, несмотря на его официальную поддержку. Благодаря дружбе с 1-м секретарём ЦК КП Грузии К. Чарквиани ему удалось передать своё письмо И. В. Сталину. Сталин заинтересовался письмом и лично встретился с Чикобавой. В результате в 1950 г. в «Правде» началась дискуссия о вопросах языкознания, которая закончилась публикацией статьи И. Сталина «Марксизм и вопросы языкознания», написанной с позиций младограмматизма при использовании консультаций А. С. Чикобавы. Хотя статья Сталина и объявляла «Новое учение о языке» немарксистским, в то же время она призывала воздержаться от преследования сторонников марровской теории.
Благодаря своей позиции Чикобава получил известность среди лингвистов СССР, краткое время в 1950-е гг. студенты многих вузов учились по его учебнику «Введение в языкознание». Особенно велико было влияние Чикобавы в советском кавказоведении 1950—1960-х гг., до тех пор, пока его школа не была побеждена усилиями Г. А. Климова и его сторонников[2].
«Введение в иберийско-кавказское языкознание» (1979)
Статьи
А. С. Чикобава, Основные тенденции развития синтаксического механизма простого предложения в грузинском языке, II, Сообщения АН Груз. ССР, т. II, № 6, 1941;
А. С. Чикобава, Пермансив и место, занимаемое им в истории спряжения грузинского глагола, там же, т. IV, № 1, 1943
А. С. Чикобава, Несколько замечаний об эргативной конструкции, в сборнике «Эргативная конструкция предложения», 1950