Частота Раби

Поведение во времени населённости возбуждённого состояния ${\displaystyle e}$ двухуровневого атома для разных ситуаций: без учёта (красная линия) и с учётом (синяя линия) «оттока» населённости на другие, третьи уровни. Населённость уровней в обоих случаях осциллирует с частотой Раби ${\displaystyle \Omega _{0}}$ Коричневая линия показывает изменение количества атомов при спонтанном распаде с возбуждённого ${\displaystyle e}$ на спонтанный ${\displaystyle g}$ уровень.

Частота Раби определяется выражением

${\displaystyle \Omega _{0}={\frac {{\vec {d}}\cdot {\vec {\mathcal {E}}}}{\hbar }}}$,

${\displaystyle d}$ — дипольный момент, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ — электрическое поле излучения.

Двухуровневый атом:
${\displaystyle g}$ — основное и ${\displaystyle e}$ — возбуждённое состояния,
${\displaystyle \hbar \omega _{L}}$ — внешнее резонансное излучение с частотой ${\displaystyle \omega _{L}}$

Из определения следует, что частота Раби количественно описывает взаимодействие резонансного излучения с дипольным моментом атома или молекулы. Под действием резонансного лазерного излучения интенсивностью ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{2}}$ населённость ${\displaystyle b_{e}^{2}(t)}$ возбуждённого уровня атомной системы осциллирует с частотой Раби ${\displaystyle \Omega _{0}}$ (иногда их называют биениями Раби) [1]:

${\displaystyle b_{e}^{2}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\Omega _{0}t}{2}}\right)}$

Происхождение термина

Термин частота Раби назван именем американского физика, уроженца Галиции, лауреата Нобелевской премии по физике (1944 г.) Исидора Раби. В 1937 году Раби исследовал прецессию магнитного дипольного момента атома со спином 1/2 в магнитном поле и вероятность изменения направления спина атома на противоположное. Оказалось, что «переворот» спина происходит с частотой Раби, величина которой определяется выше приведенной формулой (англ. Rabi problem).

Обобщённая частота Раби

Для нерезонансного света вводится так называемая Обобщённая частота Раби ${\displaystyle \Omega ^{'}}$.

${\displaystyle \Omega ^{'}={\sqrt {|\Omega _{0}|^{2}+|\Delta |^{2}}}}$

где ${\displaystyle \Delta =\omega _{L}-\omega _{0}}$ есть отстройка лазерного света от резонансного атомного перехода. Обобщённая частота Раби участвует в модели Джейнса-Каммингса, которая является самой простой и в то же время адекватной моделью взаимодействия двухуровнего атома с одной модой квантованного поля в резонаторе с высокой добротностью.

Вакуумная частота Раби

В 1946 г. Парселл обратил внимание на то, что скорость спонтанного излучения двухуровневой системы, помещённой в резонатор, увеличивается пропорционально отношению ${\displaystyle Q/V}$ по сравнению со скоростью спонтанного излучения в свободном пространстве (эффект Парселла) [2]; здесь
${\displaystyle Q,~V}$ — добротность и объём моды резонатора соответственно. Если добротность резонатора ${\displaystyle Q=\omega /\Delta \omega _{c}}$ велика, так что ${\displaystyle \Omega /\Delta \omega _{c}>1}$, то спонтанное излучение становится обратимым, а атом обменивается энергией с созданным им же полем со скоростью, определяемой вакуумной частотой Раби ${\displaystyle \Omega _{0}^{v}}$.

Предположим, мы имеем пустой высокодобротный одномодовый резонатор. Если в такой резонатор влетает атом, находящийся в возбуждённом состоянии ${\displaystyle e}$, то вакуумные флуктуации моды резонатора сынициируют спонтанное испускание атомом фотона. В результате атом окажется в основном состоянии ${\displaystyle g}$. Так как резонатор добротный, то испущенный фотон перепоглотится, и атом снова перейдёт в возбуждённое состояние. Таким образом, вследствие вакуумных флуктуаций поля в резонаторе атом будет осциллировать между его уровнями. Такие осцилляции напоминают поведение атома под действием резонансного лазерного поля, поэтому описанные переходы атома из состояния ${\displaystyle g}$ в состояние ${\displaystyle e}$ и обратно, вызванные вакуумными флуктуациями поля в пустом добротном резонаторе, называют вакуумной частотой Раби ${\displaystyle \Omega _{0}^{v}}$.

Вакуумные осцилляции наблюдались на ридберговских переходах атомов в микроволновых резонаторах [3] и на оптических переходах в микрорезонаторах [4]. Аналитическое выражение для вакуумной частоты Раби имеет вид:

${\displaystyle \Omega _{0}^{v}={\frac {{\hat {d}}{\hat {E}}({\vec {r}})}{\hbar }}}$,

где ${\displaystyle {\hat {E}}({\vec {r}})={\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega }{V}}}{\vec {e}}u({\vec {r}})(c+c^{\dagger })}$,
${\displaystyle V}$ — объём моды резонатора, ${\displaystyle {\vec {e}}}$ — вектор поляризации моды, ${\displaystyle \omega }$ — частота поля, ${\displaystyle {c+c^{\dagger }}}$ — операторы рождения и уничтожения фотона, ${\displaystyle u({\vec {r}})}$ — описывает пространственное распределение моды резонатора.

Одетые состояния

(см. также Сизифово охлаждение#Переменный эффект Штарка)

Смещение атомных уровней ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle e}$ под действием лазерного излучения при «голубой» (a) и «красной» (b) настройке частоты лазера. Смещение атомных уровней ${\displaystyle \Delta {E}}$ противоположно по знаку отстройки частоты лазера

У атома, находящегося в резонансном, когерентном поле, появляются новые зависящие от времени состояния, которые описывают с помощью «одетых» состояний («одетых» полем). В строгом смысле считать их собственными состояниями нельзя, но для описания системы их охотно и успешно используют.

В основе этого понятия лежит известный эффект Штарка. Атом, помещённый во внешнее электрическое поле ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, меняет свою энергию. В результате энергетические уровни атома смещаются на величину ${\displaystyle \Delta {E}={\vec {d}}\cdot {\vec {\mathcal {E}}}}$, где ${\displaystyle {\vec {d}}}$ — дипольный момент атома. В 1955 г. Отлер и Таунс опубликовали работу, в которой представлены результаты исследования эффекта Штарка в интенсивных резонансных полях [5] (см. en:Autler–Townes effect). Оказалось, что под действием переменного электрического поля, в том числе при освещении светом, уровни атома также смещаются. С этого времени этот эффект называют «переменным эффектом Штарка»:

${\displaystyle \Delta {E}=-c^{2}{\frac {\Omega _{0}^{2}}{2\delta }}}$

где ${\displaystyle \Omega _{0}={\frac {{\vec {d}}\cdot {\vec {\mathcal {E}}}}{\hbar }}}$ — частота Раби, ${\displaystyle \delta }$ — отстройка частоты лазера от атомного резонанса ${\displaystyle \nu _{L}}$ В 1977 году К. Коэн-Таннуджи ввёл понятие одетые состояния.[6]

π/2 и π импульсы

Если приложить импульс поля длительностью ${\displaystyle \tau }$ так, что ${\displaystyle \Omega _{0}\times \tau =\pi }$, то атом перейдёт из состояния ${\displaystyle g}$ в состояние ${\displaystyle e}$ (см. формулу для ${\displaystyle b^{2}(t)}$). Такой импульс называют ${\displaystyle \pi }$-импульс.

В случае, когда частица в результате импульсного воздействия за время ${\displaystyle \tau ={\frac {\pi }{2\Omega _{0}}}}$ перейдёт в суперпозиционное состояние ${\displaystyle {\frac {g+e}{\sqrt {2}}}}$, такой импульс называют ${\displaystyle \pi /2}$-импульсом.

Примечания

1. Atomic Physics, Christopher J. Foot, 346 pages, ISBN 978-0-19-850695-9, ISBN 0-19-850695-3, 2005
2. E. M. Purcell, Phys.Rev. 69, 681 (1946)
3. [Y.Kaluzny, P.Goy, M.Gross et.al, Phys. Rev. Lett. 51, 1175 (1983)]
4. [R.J.Tompson, G.Rempe, and H.J.Kimble, Phys .Rev. Lett. 68, 1132 (1992)]
5. Autler, S. H; Charles Hard Townes. Stark Effect in Rapidly Varying Fields (англ.) // Physical Review : journal. — 1955. — Vol. 100. — P. 703. — doi:10.1103/PhysRev.100.703.
6. C. Cohen-Tannoudji, S. Reynaud. Dressed-atom description of resonance fluorescence and absorption spectra of a multi-level atom in an intense laser beam (англ.) // :en:Journal of Physics B|J. Phys. B : journal. — 1977. — Vol. 10. — P. 345. — doi:10.1088/0022-3700/10/3/005.

Литература

• В. С. Летохов, В. П. Чеботаев. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии. — М.: Наука, 1975. Рецензия Е. Б. Александрова
• М. О. Скалли, М. С. Зубайри (M.O. Scully, M.S. Zubairy), Квантовая оптика, Перевод с английского под ред В. В. Самарцева, — М.: Физматлит, 2003 г.

УДК 535(082) ББК 22.34 52487

• Serge Haroche and Daniel Kleppner, Cavity Quantum Electrodynamics, Physics Today, p24, January (1989),
• В. М. Акулин, Н. В. Карлов. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой электронике. – М.: Наука, 1987.