Цепь (алгебраическая топология)

Цепь в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии — конструкция, обобщающее понятие многоугольника, используется для определения гомологий пространства и интегрирования дифференциальных форм на нём.

Определение

Криволинейным симплексом называется дважды непрерывно дифференцируемое невырожденное отображение симплекса ${\displaystyle \gamma =[p_{0},\ldots ,p_{n}]}$ в евклидовом пространстве в топологическое пространство ${\displaystyle M}$.

Цепью называется элемент свободного модуля над кольцом целых чисел, порождённого множеством симплексов данного топологического пространства, то есть формальная сумма

${\displaystyle \sigma =k_{1}\sigma _{1}+\dots +k_{n}\sigma _{n},~k_{i}\in \mathbb {Z} ,\,n\in \mathbb {N} }$

Число ${\displaystyle k_{i}}$ называется кратностью симплекса ${\displaystyle \sigma _{i}}$. Сумма цепей определяется как сумма элементов модуля.

Граница ${\displaystyle \partial \sigma _{i}}$ криволинейного симплекса ${\displaystyle \sigma _{i}}$ определяется как образ границы симплекса ${\displaystyle \gamma _{i}}$ под действием отображения ${\displaystyle \sigma _{i}}$. На произвольные цепи граничный оператор продолжается по линейности, то есть

${\displaystyle \partial \sigma =k_{1}\partial \sigma _{1}+\dots +k_{n}\partial \sigma _{n}}$

Связанные определения

• Цикл — это цепь, граница которой равна нулю.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.