Централизатор и нормализатор

В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.

Определение применимо также к полугруппам.

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли.

Идеализатор^[англ.] в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.

Определения

Группы и полугруппы

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как[1]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S={a} — множество, состоящее из единственного элемента, C_G({a}) можно сократить до C_G(a). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(a), которое проводит параллель с обозначением центра группы. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G, Z(G), и централизатор элемента g в G, который обозначается как Z(g).

Нормализатор S в группе (или полугруппе) G по определению равен

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}}$

Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S, то должно выполняться ${\displaystyle gs=sg}$, однако, если g — нормализатор, ${\displaystyle gs=tg}$ для некоторого t из S, возможно, отличного от s. То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием.

Кольца, алгебры, кольца и алгебры Ли

Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ — алгебра Ли (или кольцо Ли^[англ.]) с произведением Ли [x,y], то централизатор подмножества S ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ определяется как [2]

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то для R можно задать скобочное произведение [x,y] = xy − yx. Естественно, xy = yx тогда и только тогда, когда [x,y] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L_R, то ясно, что централизатор кольца S в R совпадает с централизатором кольца Ли S в L_R.

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ задаётся равенством[2]

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически идеализатором^[англ.] множества S в ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. Если S − аддитивная подгруппа ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, то ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.[2]

Свойства

Полугруппы

Пусть S′ — централизатор, то есть ${\displaystyle S'=\{x\in A:sx=xs\ }$ для всех ${\displaystyle s\in S\}.}$ Тогда:

• S′ образует подполугруппу.
• ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$ — коммутант является своим бикоммутантом^[англ.].

Группы [3]

• Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G.
• Ясно, что C_G(S)⊆N_G(S). На самом деле, C_G(S) всегда является нормальной подгруппой N_G(S).
• C_G(C_G(S)) содержит S, но C_G(S) не обязательно содержит S. C_G(S) будет совпадать с S если st=ts для любого s и t из S. Естественно, что если H — абелева подгруппа G, C_G(H) содержит H.
• Если S является подполугруппой G, то N_G(S) содержит S.
• Если H является подгруппой G, то наибольшая подгруппа, в которой H нормальна, является подгруппой N_G(H).
• Центр G — это в точности C_G(G) и G является абелевой группой в том и только в том случае, когда C_G(G)=Z(G) = G.
• Для множеств, состоящих из одного элемента, C_G(a)=N_G(a).
• Из принципа симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G, T⊆C_G(S) в том и только в том случае, когда S⊆C_G(T).
• Для подгруппы H группы G факторгруппа N_G(H)/C_G(H) изоморфна подгруппе Aut(H), группе автоморфизмов группы H. Поскольку N_G(G) = G и C_G(G) = Z(G), отсюда также следует, что G/Z(G) изоморфно Inn(G), подгруппе Aut(G), состоящей из всех внутренних автоморфизмов G.
• Если мы определим гомоморфизм группы T : G → Inn(G), положив T(x)(g) = T_x(g) = xgx^−1, то мы можем описать N_G(S) и C_G(S) в терминах действия группы Inn(G) на G: стабилизатор S в Inn(G) — это T(N_G(S)), и подгруппа Inn(G), фиксирующая S — это T(C_G(S)).

Кольца и алгебры[2]

• Централизаторы в кольцах и алгебрах — это подкольца и подалгебры, соответственно, а централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли — это подкольца Ли и подалгебры Ли, соответственно.
• Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S.
• C_R(C_R(S)) содержит S, но не обязательно совпадает с ним. Теорема о двойном централизаторе^[англ.] рассматривает случаи, когда в результате получаем совпадение.
• Если S является аддитивной подгруппой кольца Ли A, то N_A(S) является наибольшим подкольцом Ли A, в котором S — идеал Ли.
• Если S — подкольцо Ли кольца Ли A, то S⊆N_A(S).

См. также

• Коммутатор
• Стабилизатор подгруппы
• Норма (теория групп)
• Множители и централизаторы (банаховы пространства)^[англ.]
• Теорема о двойном централизаторе^[англ.]
• Идеализатор^[англ.]

Примечания

1. Jacobson, 2009, p. 41.
2. Jacobson, 1979.
3. Isaacs, 2009.

Ссылки

• I. Martin Isaacs. Algebra: a graduate course. — reprint of the 1994 original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — С. xii+516. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4799-2.
• Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1.
• Nathan Jacobson. Lie algebras. — republication of the 1962 original. — New York: Dover Publications Inc., 1979. — С. ix+331. — ISBN 0-486-63832-4.