Функции Бриллюэна и Ланжевена

Функции Бриллюэна и Ланжевена представляют собой пару специальных функций , которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике.

Функция Бриллюэна

Функция Бриллюэна[1][2] - это специальная функция, которая определяется следующим уравнением:

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}$

Функция обычно применяется (см. ниже) в контексте, где х является действительной переменной и J является положительным целым или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, достигая +1, при ${\displaystyle x\to +\infty }$ и -1 при ${\displaystyle x\to -\infty }$.

Функция чаще всего применяется при расчете намагниченности идеального парамагнетика. В частности, она описывает зависимость намагниченности ${\displaystyle M}$ от приложенного магнитного поля ${\displaystyle B}$ и полного углового момента J состоящего из микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность дается формулой:

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)}$

где

• ${\displaystyle N}$ - число атомов в единице объема,
• ${\displaystyle g}$ - g-фактор,
• ${\displaystyle \mu _{B}}$ - магнетон Бора,
• ${\displaystyle x}$ - отношение Зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии ${\displaystyle k_{B}T}$:

${\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}}$

${\displaystyle k_{B}}$ -  постоянная Больцмана и ${\displaystyle T}$ температура.

Отметим, что в системе единиц Си индукция магнитного поля ${\displaystyle B}$ измеряется в теслах, ${\displaystyle B=\mu _{0}H}$, где ${\displaystyle H}$ напряженность магнитного поля в А/м и ${\displaystyle \mu _{0}}$ - проницаемость вакуума.

Функция Ланжевена

В классическом пределе, моменты могут непрерывно выстроиться по полю и ${\displaystyle J}$ может принимать все значения (${\displaystyle J\to \infty }$). В этом пределе функция Бриллюэна превращается в функцию Ланжевена, названную в честь Поля Ланжевена:

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}$

Для малых значений x, функция Ланжевена может быть разложена в ряд Тейлора:

${\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots }$

Альтернативная аппроксимация может быть получена из непрерывной дроби Ламберта разложения tanh(x):

${\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}}$

При достаточно малых x, обе аппроксимации численно лучше, чем прямая оценка аналитического выражения, поскольку последняя страдает от потери значимости.

Высокотемпературный предел

При ${\displaystyle x\ll 1}$ т. е. когда ${\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T}$ мало, намагниченность можно аппроксимировать законом Кюри:

${\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}}$

где ${\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}}$  - константа. Можно отметить, что ${\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}$ - эффективное число магнетонов Бора.

Предел высоких полей

При ${\displaystyle x\to \infty }$ функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается и магнитные моменты полностью выстраиваются по направлению приложенного поля:

${\displaystyle M=Ng\mu _{B}J}$

Ссылки

1. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — С. 522
2. Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization (англ.) // Brit. J. Appl. Phys.^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 18, no. 10. — P. 1415—1417. — doi:10.1088/0508-3443/18/10/307. — Bibcode: 1967BJAP...18.1415D.