Участник:Pripyat/Алгебра чёта

Алгебра чёта - алгебра, отвлечённая от значения числа и направленная только на изучение свойства чётности, нечётности числа.

Понятие чётности числа

В математике используются следующие множества:

Обозначение множества	Название множества	Операции на множестве
${\displaystyle \mathbb {N} }$	Натуральные числа	+ сложение × произведение
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Целые числа	+ сложение × произведение − вычитание
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	Рациональные числа	+ сложение × произведение − вычитание ÷ деление
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Действительные числа	+ сложение × произведение − вычитание ÷ деление корень "+" числа
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Комплексные числа	+ сложение × произведение − вычитание ÷ деление корень "+" числа корень "−" числа

На множестве натуральных чисел определено понятие чётности и нечётности числа.

Определение

Чётное число - число, делящиеся на 2 без остатка. Чётное число можно представить в виде ${\displaystyle n=2k;k\in \mathbb {N} \,}$

Нечётное число - число,не делящиеся на 2 без остатка. Остаток является натуральным числом и должен быть меньше делителя. Следовательно, остаток в случае нечётного числа равен 1. Нечётное число можно представить в виде ${\displaystyle n=2k-1;k\in \mathbb {N} \,}$

Расширим понятие чётности и нечётности числа на множество целых чисел. Будем считать, что чётность отрицательного числа совпадает с чётностью положительного числа, т.к. оно имеете те же, только отрицательные делители. Число 0 будем считать чётным, оно делится без остатка на любое число, в том числе и на 2.

Алгебра чёта на множестве натуральных (N) и целых чисел (Z)

Множество чётности Ω

Рассмотрим множество ${\displaystyle ~\Omega =\{0;1\}}$, состоящие всего из двух элементов. Рассмотрим отображение ${\displaystyle \mathbb {N} \to \Omega }$ такое, которое каждому числу из множества натуральных чисел ставит в соответствие:

• 0, если число чётное
• 1, если число нечётное

Аналогично рассмотрим отображение ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \Omega }$. Функцию, осуществляющую это отображение будем записывать ${\displaystyle ~f=odd(n)={\begin{cases}0,&{\mbox{ }}n{\mbox{ = 2k }}\\1,&{\mbox{ }}n{\mbox{ = 2k+1}}\end{cases}};n\in \mathbb {Z} }$.

Определение

Множество чётности Ω - множество ${\displaystyle ~\Omega =\{0;1\}}$, состоящие из двух элементов и осуществляющее на себя отображение ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \Omega :~f=odd(n);n\in \mathbb {Z} }$. Это отображение сюръективно, не инъективно и, следовательно, не биективно.

Это множество ${\displaystyle ~\Omega }$ обладает свойствами, которыми обладают множества, которые на него отображаются. Объединим операции сложения и вычитания в одну и будем обозначать их знаком "+" в силу того, что ${\displaystyle ~odd(n)=odd(-n);n\in \mathbb {Z} }$. Операцию умножения также будем обозначать "×" или "·"

	Сложение / Вычитание "+"	Умножение "×" или "·"	Закон
Коммутативность	Да	Да	${\displaystyle ~a+b=b+a}$ ${\displaystyle ~a\cdot b=b\cdot a}$
Ассоциативность	Да	Да	${\displaystyle ~(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c}$ ${\displaystyle ~(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c}$
Дистрибутивность	Да, умножение относительно сложения		${\displaystyle ~a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
Регулярность	Да	Нет	${\displaystyle ~a+c=b+c\Rightarrow a=b}$
Идемпотентность	Нет	Да	${\displaystyle ~a\cdot a=a}$
Нейтральный элемент	0	1	${\displaystyle ~a+0=a}$ ${\displaystyle ~a\cdot 1=a}$

Будем обозначать вместо чисел их чётность в соответствии с функцией ${\displaystyle ~odd}$. Под переменными будем понимать переменные чёта, т.е. переменные на множестве чёта, принимающие значения 0 и 1 в зависимости от чётности.

Арифметические операции на множестве чётности Ω

Сложение

Сложение

${\displaystyle ~0+0=0}$

Доказательство: ${\displaystyle ~2m+2n=2\cdot (m+n)=2k}$, где ${\displaystyle k=m+n;k,m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle ~0+1=1}$

Доказательство: ${\displaystyle ~2m+(2n+1)=2\cdot (m+n)+1=2k+1}$, где ${\displaystyle k=m+n;k,m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle ~1+0=1}$

Доказательство: По закону коммутативности ${\displaystyle ~1+0=0+1=1}$

${\displaystyle ~1+1=0}$

Доказательство: ${\displaystyle ~(2m+1)+(2n+1)=2\cdot (m+n+1)=2k}$, где ${\displaystyle k=m+n+1;k,m,n\in \mathbb {Z} }$

Также имеют место свойства, полученные из данной операции:

Свойства сложения

${\displaystyle ~x+x=0}$

Умножение

Умножение

${\displaystyle ~0\cdot 0=0}$

Доказательство: ${\displaystyle ~2m\cdot 2n=4mn=2\cdot (2mn)=2k}$, где ${\displaystyle k=2mn;k,m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle ~0\cdot 1=0}$

Доказательство: ${\displaystyle ~2m\cdot (2n+1)=4mn+2m=2\cdot (2mn+m)=2k}$, где ${\displaystyle k=2mn+m;k,m,n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle ~1\cdot 0=0}$

Доказательство: По закону коммутативности ${\displaystyle ~1\cdot 0=0\cdot 1=0}$

${\displaystyle ~1\cdot 1=1}$

Доказательство: ${\displaystyle ~(2m+1)\cdot (2n+1)=4mn+2m+2n+1=2\cdot (2mn+m+n)+1=2k+1}$, где ${\displaystyle k=2mn+m+n;k,m,n\in \mathbb {Z} }$

Отсюда следует доказательство идемпотентности множества чёта относительно операции умножения. Действительно, как было показано выше ${\displaystyle 0\cdot 0=0;1\cdot 1=1}$

А также следует очень важное свойство произведения, равного единице:

Свойство единичного произведения

Произведение ${\displaystyle ~a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}=1}$ тогда, и только тогда, когда ${\displaystyle ~a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=1}$
Доказательство:
→: Докажем методом от противного. Предположим, что ${\displaystyle ~\exists j:a_{j}\not =1\Rightarrow a_{j}=0}$. Обозначим произведение ${\displaystyle ~a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{j-1}\cdot a_{j+1}\cdot ...\cdot a_{n}=x}$. Тогда ${\displaystyle 1=~a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}=a_{j}\cdot x=0\cdot x=0;1=0\Rightarrow }$ противоречие.
←: Пусть ${\displaystyle ~a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=1}$. Перемножим их исходя из полученных правил (${\displaystyle ~1\cdot 1=1}$): Получим произведение ${\displaystyle ~a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}=1}$ (ч.т.д.)

Также имеют место свойства, полученные из данной операции:

Свойства умножения

${\displaystyle ~0\cdot x=0}$

${\displaystyle ~1\cdot x=x}$

Возведение в степень

Возведение в степень

${\displaystyle ~m^{n}=m}$

Доказательство: В силу идемпотентности элементов множества чёта ${\displaystyle ~0\cdot 0=0;1\cdot 1=1}$. Это означает, что для любого конечного числа множителей верно: ${\displaystyle ~0\cdot 0\cdot 0\cdot ...\cdot 0=0}$   и   ${\displaystyle ~1\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1=1}$. Следовательно, ${\displaystyle ~\forall n:m^{n}=m}$

Факториал

Факториал

${\displaystyle ~n=0;1:n!=1;}$
${\displaystyle ~n=2;3;4;...:n!=0;}$
Доказательство: Факториал нуля и единицы полагают равным единице и, следовательно, он нечётный:${\displaystyle ~n=0;1:n!=1;}$.
Для чисел больше или равных 2 в произведение входит 2 и, следовательно, факториал чётный: ${\displaystyle ~n=2;3;4;...:n!=0;}$

Операция "Инверсия"

Число ${\displaystyle x\in \Omega }$ может принимать два значения: 0 и 1. Рассмотрим элемент ${\displaystyle {\bar {x}}}$, который принимает значение 1, если x=0 и 0, если x=1. Т.е. ${\displaystyle {\bar {x}}={\begin{cases}0,&{\mbox{ }}x{\mbox{ = 1 }}\\1,&{\mbox{ }}x{\mbox{ = 0}}\end{cases}}}$

Очевидно, что ${\displaystyle {\bar {x}}+x=1\Rightarrow {\bar {x}}=x+1}$

Определение

Операция "Инверсия" - унарная операция, ставящая в соответствие элементу ${\displaystyle ~x}$ элемент ${\displaystyle {\bar {x}}}$ по правилу: ${\displaystyle {\bar {x}}=x+1}$ (читается "не икс").

Свойства операции "Инверсия"

1. Инволютивность инверсии :${\displaystyle {\bar {\bar {x}}}=x}$

Доказательство: ${\displaystyle {\bar {\bar {x}}}=(x+1)+1=x+1+1=x+0=x}$

2. ${\displaystyle {\bar {x}}\cdot x=0}$

Доказательство: ${\displaystyle {\bar {x}}\cdot x=(x+1)\cdot x=x^{2}+x=x+x=0}$

3. ${\displaystyle {\bar {x}}+x=1}$

Доказательство: ${\displaystyle {\bar {x}}+x=(x+1)+x=x+x+1=0+1=1}$

4. Правило переноса знака: ${\displaystyle {\bar {x}}+y=x+{\bar {y}}}$

Доказательство: ${\displaystyle {\bar {x}}+y=(x+1)+y=x+(y+1)=x+{\bar {y}}}$

5. ${\displaystyle x+y={\bar {x}}+{\bar {y}}}$

Доказательство:${\displaystyle x+y=x+y+0=x+y+1+1=(x+1)+(y+1)={\bar {x}}+{\bar {y}}}$

6. ${\displaystyle {\bar {x}}y+x{\bar {y}}=x+y}$

Доказательство:${\displaystyle {\bar {x}}y+x{\bar {y}}=(x+1)y+x(y+1)=xy+y+xy+x=(xy+xy)+x+y=0+x+y=x+y}$

Законы поглощения

1. ${\displaystyle a+ab=a{\bar {b}}}$

Доказательство: ${\displaystyle a+ab=a(1+b)=a{\bar {b}}}$

2. ${\displaystyle a+a{\bar {b}}=ab}$

Доказательство:${\displaystyle a+a{\bar {b}}=a+a(b+1)a+ab+a=(a+a)+ab=0+ab=ab}$

Основные тождества

1. ${\displaystyle {\overline {a+b}}=a+{\bar {b}}={\bar {a}}+b}$

Доказательство: ${\displaystyle {\overline {a+b}}=(a+b)+1=a+b+1=a+{\bar {b}}={\bar {a}}+b}$

2. Для произведения получить подобное тождество труднее и пользоваться им не удобно. Поэтому, если произведение стоит в сумме с другим выражением, лучше использовать правило переноса: ${\displaystyle {\overline {ab}}+x=ab+{\bar {x}}}$.

Тем не менее, приведем данное тождество:

${\displaystyle {\overline {ab}}=a+{\bar {a}}{\bar {b}}+b={\bar {a}}b+{\bar {b}}={\bar {b}}a+{\bar {a}}}$

Доказательство: Упростим выражение: ${\displaystyle {\bar {a}}{\bar {b}}=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1={\overline {ab}}+a+b}$

Отсюда: ${\displaystyle {\overline {ab}}=a+{\bar {a}}{\bar {b}}+b={\bar {a}}b+{\bar {b}}={\bar {b}}a+{\bar {a}}}$

Кратность чётного числа

Чётное число ${\displaystyle n=2l;l\in \mathbb {N} \,}$ делится на два. При этом полученное число может делиться на 2, а может и не делиться. Если полученное число чётное, то опять его разделим на 2. И так продолжим эту процедуру, пока не получим нечётное число m, которое уже нельзя нацело разделить на 2. Для того чтобы получить это число m, мы разделили исходное число n на два k раз. Тогда исходное число можно представить в виде ${\displaystyle n=2^{k}\cdot m;\qquad k\in \mathbb {N} ;m\in \mathbb {Z} \,}$, где m-нечётное число

Определение

Если чётное число можно представить в виде ${\displaystyle n=2^{k}\cdot m;\qquad k\in \mathbb {N} ;m\in \mathbb {Z} \,}$, где m-нечётное число, то:
k - кратность чётного числа;
m - модуль кратности;

Докажем, что для любого чётного числа существуют и единственные числа k и m, что выполняется: ${\displaystyle n=2^{k}\cdot m;\qquad k\in \mathbb {N} ;m\in \mathbb {Z} \,}$, где m-нечётное число.

Теорема (существование и единственность кратности и модуля кратности)

Формулировка: Для любого чётного числа существуют и единственные числа k и m, что выполняется: ${\displaystyle n=2^{k}\cdot m;\qquad k\in \mathbb {N} ;m\in \mathbb {Z} \,}$, где m-нечётное число.
Доказательство:

С у щ е с т в о в а н и е: Возьмём чётное число. По определению, оно как минимум один раз разделится на два:

${\displaystyle ~n=2d_{1}}$. Если ${\displaystyle ~d_{1}}$ - нечётно, то процедура деления закончена: ${\displaystyle ~k=1;m=d_{1}}$. Если ${\displaystyle ~d_{1}}$ - чётно, то ${\displaystyle ~d_{1}=2d_{2}}$ по определению чётного числа, а ${\displaystyle n=2d_{1}=2\cdot 2d_{2}=2^{2}d_{2}}$. Продолжим так до тех пор, пока некоторое число ${\displaystyle ~d_{k}}$ - будет нечётно. Тогда ${\displaystyle n=2^{k}\cdot d_{k};\qquad k,d_{k}\in \mathbb {N} \,}$. Здесь ${\displaystyle ~m=d_{k}}$ - модуль кратности, а k - кратность чётного числа. Но пусть даже после проведения очень большого количества мы не можем получить нечётное число ${\displaystyle ~d_{k}}$. Увеличим количество этих процедур до ${\displaystyle {\mathcal {1}}}$, т.е. устремим ${\displaystyle ~k\rightarrow {\mathcal {1}}}$. Тогда ${\displaystyle n=\lim _{k\to \infty }2^{k}\cdot d_{k}}$. Т.к. ${\displaystyle d_{k}\in \mathbb {N} }$, то являться бесконечно малой величиной не может, может быть только конечной величиной. Получаем, что предел бесконечен. Но мы имеем дело с конечными числами ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Следовательно, найдется такое число k, что ${\displaystyle ~m=d_{k}}$ - будет нечётным.

Е д и н с т в е н н о с т ь: Докажем методом от противного. Предположим, что существуют две различные пары чисел ${\displaystyle ~(k_{1};m_{1})}$ и ${\displaystyle ~(k_{2};m_{2})}$ такие, что ${\displaystyle n=2^{k_{1}}\cdot m_{1}=2^{k_{2}}\cdot m_{2};\qquad k_{1},m_{1},k_{2},m_{2}\in \mathbb {N} \,}$, где ${\displaystyle ~m_{1},m_{2}}$ - нечётные числа. Положим для определённости, что ${\displaystyle ~k_{1}<k_{2}}$. Тогда:

${\displaystyle 2^{k_{1}}\cdot m_{1}=2^{k_{2}}\cdot m_{2}}$. Разделим обе части на ${\displaystyle ~2^{k_{1}}}$.
${\displaystyle m_{1}=2^{k_{2}-k_{1}}\cdot m_{2}}$, где ${\displaystyle ~2^{k_{2}-k_{1}}}$ - чётное число, т.к. ${\displaystyle ~k_{2}-k_{1}>0}$. Но тогда ${\displaystyle m_{1}=2^{k_{2}-k_{1}}\cdot m_{2}}$ - чётное число, т.к. ${\displaystyle ~m_{1}}$ - произведение чётного числа на нечётное и должно быть чётным, что противоречит условию. Но равенство выполнится при ${\displaystyle ~k_{2}-k_{1}=0}$, т.е. при ${\displaystyle ~k_{1}=k_{2}}$. Тогда ${\displaystyle m_{1}=2^{k_{2}-k_{1}}\cdot m_{2}=2^{0}\cdot m_{2}=1\cdot m_{2}=m_{2}}$. Получаем, что эти пары совпадают: ${\displaystyle ~k_{1}=k_{2};m_{1}=m_{2}}$ (ч.т.д.)

Нечётное число можно также представить в виде: ${\displaystyle m=2^{0}\cdot m;\qquad m\in \mathbb {N} \,}$. Т.е. для нечётного числа кратность чётности k=0, а модуль кратности совпадает с самим числом m.

Число	Кратность
Чётное (целое)	${\displaystyle ~k>0}$
Нечётное (целое)	${\displaystyle ~k=0}$

Закон изменения кратности чётных чисел

Рассмотрим таблицу кратности и модуля кратности для первых чётных чисел меньших 70.

Число	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58	60	62	64	66	68	70
Кратность	1	2	1	3	1	2	1	4	1	2	1	3	1	2	1	5	1	2	1	3	1	2	1	4	1	2	1	3	1	2	1	6	1	2	1
Модуль кратности	1	1	3	1	5	3	7	1	9	5	11	3	13	7	15	1	17	9	19	5	21	11	23	3	25	13	27	7	29	15	31	1	33	17	35

Рассмотрим последовательности чисел для данной кратности (они являются арифметическими прогрессиями):

Кратность	Последовательность	a1	d
1	2, 6, 10, 14, ...	2	4
2	4, 12, 20, 28, ...	4	8
3	8, 24, 40, 56, ...	8	16
...	...	...	...

Отсюда следует, что ${\displaystyle ~n_{k}=a_{1}+d\cdot N=2^{k}+2^{k+1}\cdot N}$

Если известен модуль кратности m числа n, то кратность: ${\displaystyle ~k=\log _{2}{\frac {n}{m}}={\frac {\ln n-\ln m}{\ln 2}}}$

Если известна кратность k числа n, то модуль кратности: ${\displaystyle ~m={\frac {n}{2^{k}}}}$

Согласно основной теореме арифметики число n представимо в виде: ${\displaystyle ~n=2^{k}\cdot 3^{f_{1}}\cdot 5^{f_{2}}\cdot 7^{f_{3}}\cdot ...}$. Следовательно, из этого разложения получаем модуль кратности: ${\displaystyle ~m=3^{f_{1}}\cdot 5^{f_{2}}\cdot 7^{f_{3}}\cdot ...}$ - в разложении присутствуют простые числа и отсутствует единственное чётное простое число - 2. Следовательно, еще раз убеждаемся - модуль кратности нечётный. Таким образом, задача отыскания кратности и модуля кратности сводится к задаче о разложении числа на простые множители.

Чётность НОД и НОК двух чисел

Напомним,

• НОД - наибольший общий делитель
• НОК - наименьшее общее кратное

А также основное соотношение, используемое в алгебре чёта: НОД (a;b) • НОК (a;b) = a•b

Вывод	Формулы
Рассмотрим НОД (1,1). По определению, НОД - делитель, следовательно НОД (1,1) = a. Тогда ${\displaystyle \exists x,y:}$ ${\displaystyle ~1=a\cdot x}$ ${\displaystyle ~1=a\cdot y}$ По свойству единичного произведения: ${\displaystyle ~a=1,x=1,y=1\Rightarrow }$ НОД (1,1) = a = 1. Пусть НОК (1,1) = b, тогда НОД (1,1) • НОК (1,1) = a • b = 1 • b = 1 • 1 = 1. Значит НОК (1,1) = b = 1.	НОД (1,1) = 1 НОК (1,1) = 1
Рассмотрим НОД (0,1). По определению, НОД - делитель, следовательно НОД (0,1) = a. Тогда ${\displaystyle \exists x,y:}$ ${\displaystyle ~0=a\cdot x}$ ${\displaystyle ~1=a\cdot y}$ По свойству единичного произведения для второго уравнения: ${\displaystyle ~a=1,y=1\Rightarrow }$ НОД (0,1) = a = 1. Пусть НОК (0,1) = b, тогда НОД (0,1) • НОК (0,1) = a • b = 1 • b = 0 • 1 = 0. Значит НОК (0,1) = b = 0. Соответственно, НОД (1,0) = НОД (0,1) = 1 и НОК (1,0) = НОК (0,1) = 0	НОД (0,1) = 1 НОК (0,1) = 0 НОД (1,0) = 1 НОК (1,0) = 0
Рассмотрим НОД (0,0). По определению, НОД - делитель, следовательно НОД (0,0) = a. Тогда ${\displaystyle \exists x,y:}$ ${\displaystyle ~0=a\cdot x}$ ${\displaystyle ~0=a\cdot y}$, причём числа x,y - взаимно простые. Но два взаимно простых числа не могут быть чётные, значит одно из чисел (а может и оба) x=1 или y=1. Пусть, например, x=1, тогда ${\displaystyle ~0=a\cdot x=a\cdot 1}$. Отсюда следует, что НОД (0,0) = a = 0. Рассмотрим НОК (0,0) = b. У этого числа b есть делители (0,0), т.е. чётные делители. Но у нечётного числа не может быть чётных делителей, значит число b - чётное, т.е. НОК (0,0) = 0.	НОД (0,0) = 0 НОК (0,0) = 0

Количество делителей числа

Рассмотрим число n и один из его делителей - b. Тогда число ${\displaystyle ~a={\frac {n}{b}}}$ - также делитель этого числа. Следовательно, делители числа парны ${\displaystyle \{a={\frac {n}{b}};b\}}$, т.е. их количество чётно. Рассмотрим случай, когда существует делитель, что пара чисел ${\displaystyle \{a={\frac {n}{b}};b\}}$ делителей состоит из одинаковых чисел, т.е. ${\displaystyle {\frac {n}{b}}=b\Rightarrow n=b^{2}}$. Пару одинаковых делителей считают за один делитель, количество делителей становися в этом случае нечётно, а число приобретает свойство полного квадрата целого числа.

Свойство количества делителей

Число имеет нечётное число делителей в том, и только в том случае, если оно является полным квадратом. Во всех остальных случаях у числа чётное число делителей.

Рассмотрим пример:

• 9  - 3 делителя 1, 3, 9
• 10 - 4 делителя 1, 2, 5, 10
• 36 - 9 делителя 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 36

Сходство алгебры чёта с алгеброй логики

Множество чётности ${\displaystyle ~\Omega =\{0;1\}}$ совпадает с множеством алгебры Буля. Как известно, в алгебре Буля, для операций существуют таблицы истинности - для всех возможных значений операндов для этой операции записано значение операции. Подобная таблица существует и в алгебре чёта - таблица значений.

Определение

Таблица значений - таблица, дающая значения операции всем возможным значениям, принимаемыми операндами для этой операции.

Рассмотрим таблицы значений для сложения, умножения и инверсии.

${\displaystyle ~a}$ ${\displaystyle {\bar {a}}}$ 0 1 1 0

${\displaystyle ~a}$ ${\displaystyle ~b}$ ${\displaystyle ~a+b}$ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

${\displaystyle ~a}$ ${\displaystyle ~b}$ ${\displaystyle ~a\cdot b}$ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

• Инверсия полностью совпадает с операцией отрицание ("НЕ")
• Сложение полностью совпадает с операцией сложение по модулю 2 (исключающее "ИЛИ")
• Умножение полностью совпадает с операцией конъюнкция ("И")

Алгебра чёта на множестве рациональных чисел (Q)

Задачи, приводящие к определению чётности рационального числа. Теория знаменателя

Рассмотрим число ${\displaystyle ~a^{\frac {m}{n}};a\geqslant 0;a\in \mathbb {R} ;m,n\in \mathbb {N} }$. Как известно ${\displaystyle ~a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$. Почему ${\displaystyle ~a\geqslant 0}$? Потому что может случиться ситуация при a<0, что ${\displaystyle ~a^{m}<0}$ и n - чётное, т.е. корень чётной степени из отрицательного числа. Такая ситуация может и не случиться: может быть при a<0 ${\displaystyle ~a^{m}>0}$ или ${\displaystyle ~a^{m}<0}$, но n - нечётное и корень возьмётся. Всё это время мы подразумевали, что дробь ${\displaystyle ~{\frac {m}{n}}}$ - несократима. Вполне может стоять сократимая дробь. Так ли это безобидно?

Выясним на примере: Рассмотрим равные дроби: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}}$. Найдём ${\displaystyle (-2)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {-2}}=...}$ - на множестве действительных чисел такого числа не найти.

Найдём ${\displaystyle (-2)^{\frac {2}{4}}={\sqrt[{4}]{(-2)^{2}}}={\sqrt[{4}]{4}}={\sqrt {2}}}$ - совершенно другой ответ. Выходит, сокращение дроби меняет результат.

Какое число наиболее сильно влияет на безболезненное рассматривание ${\displaystyle ~a^{\frac {m}{n}}}$ для a<0? Число n - знаменатель. Если он нечётный, то к данному числу можно вполне спокойно применять данную операцию. Если знаменатель чётный, и дробь к тому же несократимая (а из этого следует нечётность числителя), то при a<0 ${\displaystyle ~a^{m}<0}$ - операцию применять нельзя. Определим чётность рационального числа как чётность знаменателя несократимой дроби, выражающей это число. Это определение называется определение теории знаменателя.

Определение (по теории знаменателя)

Чётность рационального числа определяется чётностью знаменателя несократимой дроби, выражающей это число. Следовательно:
Чётное рациональное число - либо несократимая дробь, выражающая это число, знаменатель которой чётный, либо чётное целое число.
Нечётное рациональное число - либо несократимая дробь, выражающая это число, знаменатель которой нечётный, но отличен от единицы, либо целое нечётное число.

Множество чётности Ω_Q

Рассмотрим множество ${\displaystyle ~\Omega _{Q}=\left\{{\frac {1}{1}};{\frac {0}{1}};{\frac {1}{0}};{\frac {0}{0}}\right\}}$, состоящее из четырёх элементов. Рассмотрим отображение ${\displaystyle \mathbb {Q} \to \Omega _{Q}}$ такое, которое каждому числу из множества рациональных чисел, представляемое в виде несократимой дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ ставит в соответствие:

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$, если m и n - нечётные (${\displaystyle ~m=1;n=1}$)

• ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$, если m - чётное, n - нечётное (${\displaystyle ~m=0;n=1}$)

• ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$, если m - нечётное, n - чётное (${\displaystyle ~m=1;n=0}$)

Функцию, осуществляющую это отображение будем записывать ${\displaystyle ~f=odd_{Q}\left({\frac {m}{n}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{1}},&{\mbox{ }}m{\mbox{ = 1; n = 1 }}\\{\frac {0}{1}},&{\mbox{ }}m{\mbox{ = 0; n = 1 }}\\{\frac {1}{0}},&{\mbox{ }}m{\mbox{ = 1; n = 0 }}\\\end{cases}};m\in \mathbb {Z} ;n\in \mathbb {N} }$.

Обращает на себя внимание элемент ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ - он не является образом ни одного из элементов множества ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
Дело в том, что ${\displaystyle ~m=2k_{1};n=2k_{2}\Rightarrow {\frac {m}{n}}={\frac {2k_{1}}{2k_{2}}}}$, т.е. как минимум сократима на 2. Значит не является несократимой, а соответствие ${\displaystyle ~f=odd_{Q}\left({\frac {m}{n}}\right)}$ ставит каждому числу, представимого именно несократимой дробью, элемент множества Ω_Q.
Отсюда следует важное свойство данного отображения - оно не является сюръекцией.

Определение

Множество чётности Ω_Q - множество ${\displaystyle ~\Omega _{Q}=\left\{{\frac {1}{1}};{\frac {0}{1}};{\frac {1}{0}};{\frac {0}{0}}\right\}}$, состоящие из четырёх элементов и осуществляющее на себя отображение ${\displaystyle \mathbb {Q} \to \Omega _{Q}:~f=odd_{Q}\left({\frac {m}{n}}\right);m\in \mathbb {Z} ;n\in \mathbb {N} }$. Это отображение не сюръективно, не инъективно и, следовательно, не биективно.

Это множество ${\displaystyle ~\Omega _{Q}}$ обладает свойствами, которыми обладают множества, которые на него отображаются (кроме регулярности сложения). Объединим операции сложения и вычитания в одну и будем обозначать их знаком "+". Операцию умножения также будем обозначать "×" или "·".

	Сложение / Вычитание "+"	Умножение "×" или "·"	Закон
Коммутативность	Да	Да	${\displaystyle ~a+b=b+a}$ ${\displaystyle ~a\cdot b=b\cdot a}$
Ассоциативность	Да	Да	${\displaystyle ~(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c}$ ${\displaystyle ~(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c}$
Дистрибутивность	Да, умножение относительно сложения		${\displaystyle ~a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
Регулярность	Нет	Нет	—
Идемпотентность	Нет	Да	${\displaystyle ~{\frac {m}{n}}\cdot {\frac {m}{n}}={\frac {m}{n}}}$
Нейтральный элемент	${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$	${\displaystyle ~{\frac {m}{n}}+{\frac {0}{1}}={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle ~{\frac {m}{n}}\cdot {\frac {1}{1}}={\frac {m}{n}}}$

Главные свойства, перенятые от рациональных чисел - это коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность умножения относительно сложения. К сожалению, на множестве Ω_Q не работает свойство регулярности сложения!

Типы дробей и их чётность

Рассмотрим все четыре типа дробей из множества ${\displaystyle ~\Omega _{Q}=\left\{{\frac {1}{1}};{\frac {0}{1}};{\frac {1}{0}};{\frac {0}{0}}\right\}}$.
Также мы будем рассматривать сократимые дроби данных типов, поэтому дадим связанное с этим определение:

Определение

Стабильная (устойчивая) дробь - сократимая дробь, которая после сокращения не меняет тип.
Нестабильная (неустойчивая) дробь - сократимая дробь, которая после сокращения меняет тип.

Дробь типа ^1/₁

Дробь типа ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$ - дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}};m\in \mathbb {Z} ;n\in \mathbb {N} }$, где m и n -нечётные. Так как знаменатель нечётный, следовательно рациональное число, выражаемое этой дробью, нечётное. Рассмотрим сократимую дробь ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$. Поделим числитель и знаменатель на a = НОД (1;1), тогда ${\displaystyle ~m=1=a\cdot x}$ и ${\displaystyle ~n=1=a\cdot y}$. По свойству единичного произведения: x=1; y=1. И после сокращения на a = НОД (1;1) ${\displaystyle {\frac {1}{1}}={\frac {m}{n}}={\frac {ax}{ay}}={\frac {x}{y}}={\frac {1}{1}}}$ чётность дроби не изменилась. Значит данная дробь стабильна.

Определение

Нечётная дробь - дробь типа ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$

Предположим, что для дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ n=1 (численно), т.е. дробь выражает целое число ${\displaystyle {\frac {m}{1}}=m}$ - нечётное число, т.к. m - нечётно.

Дробь типа ^0/₁

Дробь типа ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$ - дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}};m\in \mathbb {Z} ;n\in \mathbb {N} }$, где m - чётное, n -нечётное. Так как знаменатель нечётный, следовательно рациональное число, выражаемое этой дробью, нечётное. Рассмотрим сократимую дробь ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$. Поделим числитель и знаменатель на a = НОД (0;1), тогда ${\displaystyle ~m=0=a\cdot x}$ и ${\displaystyle ~n=1=a\cdot y}$. По свойству единичного произведения: y=1. Из первого уравнения получаем ${\displaystyle ~m=0=a\cdot x=1\cdot x}$, т.е. x=0. И после сокращения на a = НОД (0;1) ${\displaystyle {\frac {0}{1}}={\frac {m}{n}}={\frac {ax}{ay}}={\frac {x}{y}}={\frac {0}{1}}}$ чётность дроби не изменилась. Значит данная дробь стабильна.

Предположим, что для дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ n=1 (численно), т.е. дробь выражает целое число ${\displaystyle {\frac {m}{1}}=m}$ - чётное число, т.к. m - чётно. Значит чётность этой дроби переменна и зависит от того, принадлежит ли данное число ${\displaystyle \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\in \mathbb {Z} }$ - тогда дробь чётна, или же ${\displaystyle \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\in \mathbb {Q\setminus Z} }$, тогда дробь - нечётна. Именно с этим моментов связано замечание в определении нечётной дроби об отличном от единицы знаменателя. Из-за переменной чётности дробь находится как-бы "посередине", отсюда её название - медиальная.

Определение

Медиальная дробь - дробь типа ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$

Дробь типа ^1/₀

Дробь типа ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$ - дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}};m\in \mathbb {Z} ;n\in \mathbb {N} }$, где m - нечётное, n -чётное. Так как знаменатель чётный, следовательно рациональное число, выражаемое этой дробью, чётное. Рассмотрим сократимую дробь ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$. Поделим числитель и знаменатель на a = НОД (1;0), тогда ${\displaystyle ~m=1=a\cdot x}$ и ${\displaystyle ~n=0=a\cdot y}$. По свойству единичного произведения: x=1. Из второго уравнения получаем ${\displaystyle ~n=0=a\cdot y=1\cdot y}$, т.е. y=0. И после сокращения на a = НОД (1;0) ${\displaystyle {\frac {1}{0}}={\frac {m}{n}}={\frac {ax}{ay}}={\frac {x}{y}}={\frac {1}{0}}}$ чётность дроби не изменилась. Значит данная дробь стабильна.

Определение

Чётная дробь - дробь типа ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$

Для несократимой дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ знаменатель в силу чётности никогда не будет равным единице, т.е. дробь выражать целое число не может.

Дробь типа ^0/₀

Дробь типа ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ - дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}};m\in \mathbb {Z} ;n\in \mathbb {N} }$, где m и n - чётные. Т.к. m и n - чётные, то можно представить их в виде:

${\displaystyle m=2^{k_{m}}\cdot s_{m}}$
${\displaystyle n=2^{k_{n}}\cdot s_{n}}$ ,где
${\displaystyle ~s_{m},s_{n}}$ - нечётные числа - модули кратности
${\displaystyle ~k_{m},k_{n}}$ - кратности чисел n и m - соответственно
Тогда дробь ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2^{k_{m}}\cdot s_{m}}{2^{k_{n}}\cdot s_{n}}}}$. Рассмотрим три случая:

• ${\displaystyle ~k_{m}>k_{n}}$.

Тогда ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2^{k_{m}}\cdot s_{m}}{2^{k_{n}}\cdot s_{n}}}={\frac {2^{k_{m}-k_{n}}\cdot s_{m}}{s_{n}}}}$.

Числитель дроби ${\displaystyle ~2^{k_{m}-k_{n}}\cdot s_{m}}$ - чётное число, знаменатель дроби ${\displaystyle ~s_{n}}$ - нечётное число, значит полученная дробь - дробь типа ${\displaystyle ~{\frac {0}{1}}}$ - медиальная.

• ${\displaystyle ~k_{m}<k_{n}}$.

Тогда ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2^{k_{m}}\cdot s_{m}}{2^{k_{n}}\cdot s_{n}}}={\frac {s_{m}}{2^{k_{n}-k_{m}}\cdot s_{n}}}}$.

Числитель дроби ${\displaystyle ~s_{m}}$ - нечётное число, знаменатель дроби ${\displaystyle ~2^{k_{n}-k_{m}}\cdot s_{n}}$ - чётное число, значит полученная дробь - дробь типа ${\displaystyle ~{\frac {1}{0}}}$ - чётная.

• ${\displaystyle ~k_{m}=k_{n}}$.

Тогда ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2^{k_{m}}\cdot s_{m}}{2^{k_{n}}\cdot s_{n}}}={\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$.

Числитель дроби ${\displaystyle ~s_{m}}$ - нечётное число, знаменатель дроби ${\displaystyle ~s_{n}}$ - нечётное число, значит полученная дробь - дробь типа ${\displaystyle ~{\frac {1}{1}}}$ - нечётная.

Значит дробь нестабильна и преобразуется к одному из трёх типов. Более того, дробь этого типа не существует в "свободном" (несократимом) состоянии.

Определение

Неопределённая дробь - дробь типа ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Соотношение	Тип дроби
${\displaystyle ~k_{m}>k_{n}}$.	Медиальная
${\displaystyle ~k_{m}=k_{n}}$.	Нечётная
${\displaystyle ~k_{m}<k_{n}}$.	Чётная

В общем виде дробь приводится к: ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2^{k_{m}}\cdot s_{m}}{2^{k_{n}}\cdot s_{n}}}=2^{k_{m}-k_{n}}\cdot {\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$

Кратность дробей

В общем виде дробь ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ приводится к: ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {2^{k_{m}}\cdot s_{m}}{2^{k_{n}}\cdot s_{n}}}=2^{k_{m}-k_{n}}\cdot {\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$ ,где
${\displaystyle ~s_{m},s_{n}}$ - нечётные числа - модули кратности, ${\displaystyle ~s_{m},s_{n}\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle ~k_{m},k_{n}}$ - кратности чисел n и m - соответственно, ${\displaystyle ~k_{m},k_{n}\in \mathbb {N} }$
Кроме того, как известно, эта дробь выражает один из трёх других типов. А это означает, что дробь любого типа можно записать в том же виде, что и неопределённую:
${\displaystyle {\frac {m}{n}}=2^{k_{m}-k_{n}}\cdot {\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$, где дробь ${\displaystyle {\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$ в силу нечётности числителя и знаменателя - нечётная (т.е. дробь типа ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$)

Определение

Рациональное число можно представить в виде ${\displaystyle {\frac {m}{n}}=2^{k_{m}-k_{n}}\cdot {\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$, где ${\displaystyle {\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$-нечётная дробь, то:

${\displaystyle ~k=k_{m}-k_{n}}$ - кратность рациональной дроби; ${\displaystyle ~k_{m},k_{n}\in \mathbb {N} ;k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle ~s={\frac {s_{m}}{s_{n}}}}$ - модуль кратности рациональной дроби; ${\displaystyle ~s_{m},s_{n}\in \mathbb {Z} ;s\in \mathbb {Q} }$

Существование и единственность кратности и модуля кратности рациональной дроби следует из существования и единственности кратности и модуля кратности отдельно числителя и знаменателя.
Из прошлой таблицы, можно сделать вывод:

Кратность	Тип дроби
${\displaystyle ~k>0}$.	Медиальная
${\displaystyle ~k=0}$.	Нечётная
${\displaystyle ~k<0}$.	Чётная

Таблица свойств дробей (по теории знаменателя)

На основании полученных сведений о всех 4 типах дробей составим таблицу:

Тип дроби	Название	Чётность	Стабильность	Прочие свойства	Кратность
${\displaystyle ~{\frac {1}{1}}}$	Нечётная	Нечётная	Да	Может являться как дробным, так и целым числом. Чётность не меняется.	${\displaystyle ~k=0}$
${\displaystyle ~{\frac {0}{1}}}$	Медиальная	Переменная	Да	Может являться как дробным, так и целым числом. Дробное - нечётное, целое - чётное	${\displaystyle ~k>0}$
${\displaystyle ~{\frac {1}{0}}}$	Чётная	Чётная	Да	Не может являться целым числом	${\displaystyle ~k<0}$
${\displaystyle ~{\frac {0}{0}}}$	Неопределённая	Переменная	Нет	В несократимом состоянии не существует, при сокращении переходит в один из трёх типов	${\displaystyle ~k\in \mathbb {Z} }$

Арифметические операции на множестве Ω_Q

Напомним еще раз правила арифметических действий над дробями:

• ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}};b\not =0;d\not =0}$

• ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}};b\not =0;d\not =0}$

• ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}};b\not =0;m\in \mathbb {N} }$

Сложение

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1\cdot 1+1\cdot 1}{1\cdot 1}}={\frac {1+1}{1}}={\frac {0}{1}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {0}{1}}={\frac {1\cdot 1+0\cdot 1}{1\cdot 1}}={\frac {1+0}{1}}={\frac {1}{1}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{0}}={\frac {1\cdot 0+1\cdot 1}{1\cdot 0}}={\frac {0+1}{0}}={\frac {1}{0}}}$

• ${\displaystyle {\frac {0}{1}}+{\frac {0}{1}}={\frac {0\cdot 1+1\cdot 0}{1\cdot 1}}={\frac {0+0}{1}}={\frac {0}{1}}}$

• ${\displaystyle {\frac {0}{1}}+{\frac {1}{0}}={\frac {0\cdot 0+1\cdot 1}{1\cdot 0}}={\frac {0+1}{0}}={\frac {1}{0}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{0}}+{\frac {1}{0}}={\frac {1\cdot 0+1\cdot 0}{0\cdot 0}}={\frac {0+0}{0}}={\frac {0}{0}}}$

Отсюда следует нейтральный элемент сложения: ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$

Умножение

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}={\frac {1\cdot 1}{1\cdot 1}}={\frac {1}{1}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {0}{1}}={\frac {1\cdot 0}{1\cdot 1}}={\frac {0}{1}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{0}}={\frac {1\cdot 1}{1\cdot 0}}={\frac {1}{0}}}$

• ${\displaystyle {\frac {0}{1}}\cdot {\frac {0}{1}}={\frac {0\cdot 0}{1\cdot 1}}={\frac {0}{1}}}$

• ${\displaystyle {\frac {0}{1}}\cdot {\frac {1}{0}}={\frac {0\cdot 1}{1\cdot 0}}={\frac {0}{0}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot {\frac {1}{0}}={\frac {1\cdot 1}{0\cdot 0}}={\frac {1}{0}}}$

Отсюда следует нейтральный элемент умножения: ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$, а также идемпотентность умножения.

Возведение в степень

• ${\displaystyle \left({\frac {1}{1}}\right)^{m}={\frac {1^{m}}{1^{m}}}={\frac {1}{1}}}$

• ${\displaystyle \left({\frac {1}{0}}\right)^{m}={\frac {1^{m}}{0^{m}}}={\frac {1}{0}}}$

• ${\displaystyle \left({\frac {0}{1}}\right)^{m}={\frac {0^{m}}{1^{m}}}={\frac {0}{1}}}$

Отсюда следует: ${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a}{b}}}$

Арифметические таблицы

+  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

×  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$

Из таблицы видно, где нарушается регулярность: ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{0}}={\frac {0}{1}}+{\frac {1}{0}}}$

Принято нейтральный элемент относительно сложения обозначать 0, а нейтральный элемент относительно умножения - 1. Поэтому получаем соотношения, называемыми эквивалентом: ${\displaystyle {\frac {0}{1}}=0;}$   ${\displaystyle {\frac {1}{1}}=1}$

Рассмотрим данные таблицы снова, но учитывая эквиваленты:

+  ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

×  ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle ~1}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle ~0}$   ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$   ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$

Нарушение регулярности: ${\displaystyle ~1+{\frac {1}{0}}=0+{\frac {1}{0}}}$. Дробь, нарушающая регулярность не входит в множество Ω, поэтому свойство регулярности на множестве Ω работает.

Таким образом, идея принципа соответствия выполняется, т.е. известные ране арифметические правила работы с целыми числами являются частным случаем арифметических правил работы с рациональными числами.

Другие теории чётности

На ряду с теорией знаменателя которую мы рассматривали на протяжении всей главы чётности рациональных чисел существуют еще теории, которые задают четность дробей по другому, и которые её не рассматривают вообще.

Теория числителя

Определим чётность рационального числа как чётность числителя несократимой дроби, выражающей это число. Это определение называется определение теории числителя.

Определение (по теории числителя)

Чётность рационального числа определяется чётностью числителя несократимой дроби, выражающей это число. Следовательно:
Чётное рациональное число - несократимая дробь, выражающая это число, числитель которой чётный.
Нечётное рациональное число - несократимая дробь, выражающая это число, числитель которой нечётный. Знаменатель может принимать значение единицы.

Эта теория не меняет арифметических правил действия с дробями, она меняет лишь их названия. Рассмотрим таблицу дробей по теории числителя.

Тип дроби	Название	Чётность	Стабильность	Прочие свойства	Кратность
${\displaystyle ~{\frac {1}{1}}}$	Нечётная	Нечётная	Да	Может являться как дробным, так и целым числом. Чётность не меняется.	${\displaystyle ~k=0}$
${\displaystyle ~{\frac {0}{1}}}$	Чётная	Чётная	Да	Может являться как дробным, так и целым числом. Чётность не меняется.	${\displaystyle ~k>0}$
${\displaystyle ~{\frac {1}{0}}}$	Медиальная	Нечётная	Да	Не может являться целым числом	${\displaystyle ~k<0}$
${\displaystyle ~{\frac {0}{0}}}$	Неопределённая	Переменная	Нет	В несократимом состоянии не существует, при сокращении переходит в один из трёх типов	${\displaystyle ~k\in \mathbb {Z} }$

Основные различия:

• Чётность стабильных дробей постоянная
• Имеет большее сходство с теорией чёта для целых чисел (т.к. знак кратности и название совпадают для обоих случаев)

Тройная теория

Тройная теория просто отвлечена от понятия чётности рационального числа и рассматривает просто три стабильных дроби: ${\displaystyle {\frac {1}{1}};{\frac {0}{1}};{\frac {1}{0}}}$, при желании, им можно придать название соответствующие теории числителя, либо знаменателя.

Приложение алгебры чёта на множестве рациональных чисел

Функции нескольких переменных (ФНП) алгебры чёта на множестве натуральных (N) и целых (Z) чисел

Функция чётности одной переменной

Рассмотрим отображение ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \Omega }$. Будем обозначать эту функцию ${\displaystyle ~y=f(x)}$.

Определение

Функция чётности f (одной переменной) - функция ${\displaystyle ~y=f(x)}$, осуществляющая отображение множеств${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \Omega }$.

Составим все возможные функции одной переменной.

${\displaystyle ~x}$ ${\displaystyle ~y=f_{1}(x)}$ 0 0 1 0	${\displaystyle ~x}$ ${\displaystyle ~y=f_{2}(x)}$ 0 0 1 1	${\displaystyle ~x}$ ${\displaystyle ~y=f_{3}(x)}$ 0 1 1 0	${\displaystyle ~x}$ ${\displaystyle ~y=f_{4}(x)}$ 0 1 1 1

Таких функций оказалось всего 4:
${\displaystyle ~f_{1}(x)=0}$
${\displaystyle ~f_{2}(x)=x}$
${\displaystyle ~f_{3}(x)={\bar {x}}}$
${\displaystyle ~f_{4}(x)=1}$

Рассмотрим обратное отображение ${\displaystyle f^{-1}:\Omega \rightarrow \Omega }$. Тождественные функции ${\displaystyle ~f_{1}}$ и ${\displaystyle ~f_{4}}$ обратных функций не имеют. Функции же ${\displaystyle ~f_{2}}$ и ${\displaystyle ~f_{3}}$ имеют обратные функции, совпадающие с ними:
${\displaystyle ~{f_{2}}^{-1}(x)=f_{2}(x)=x}$
${\displaystyle ~{f_{3}}^{-1}(x)=f_{3}(x)={\bar {x}}}$

Свойство обратимости:

Если функция одной переменной имеет обратную функцию, то она равна этой функции: ${\displaystyle \exists f^{-1}\Rightarrow f^{-1}=f}$.

Замечание: Если функция одной переменной не имеет обратную, то, следовательно, она тождественная, т.е. ${\displaystyle ~f=1}$ или ${\displaystyle ~f=0}$

Алгебра кортежей

Прежде чем работать с функциями нескольких переменных, рассмотрим их представление в виде кортежей. Рассмотрим переменные функции ${\displaystyle ~y=f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$ в виде кортежа : ${\displaystyle ~\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}}$

Определение

Кортеж (в нашем случае, кортеж аргументов) - упорядоченное множество, т.е. множество в котором важен порядок элементов. Индекс элемента указывает на его место. Обозначается ${\displaystyle ~\omega =\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}}$ (или ${\displaystyle ~\omega ^{n}}$). n - количество элементов в кортеже. Кортеж является элементом множества ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}}$

Определение

Система кортежа - количество элементов кортежа, число n. Говорят, "кортеж находится в системе n"

Учитывая, что переменные ${\displaystyle ~\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}}$ являются переменными чёта, т.е. могут принимать только два значения: ${\displaystyle ~\Omega =\{0;1\}}$ найдем количество всех возможных кортежей данного размера n.

Количество кортежей размера n

Количество кортежей размера n - ${\displaystyle ~N_{\omega }=2^{n}}$ (или ${\displaystyle ~N_{\omega }^{n}}$)

Доказательство: Все n элементов могут принимать два значения. Значит, различных кортежей может быть ${\displaystyle ~N_{\omega }=2^{n}}$. (ч.т.д.)

Ранг кортежа ω

Определение

Ранг кортежа - число ${\displaystyle ~r_{\omega }}$, которое ставится в соответствие кортежу ${\displaystyle ~\omega =\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}}$:

${\displaystyle ~r_{\omega }=r(\omega )=x_{1}\cdot 2^{n-1}+x_{2}\cdot 2^{n-2}+...+x_{n-1}\cdot 2^{1}+x_{n}\cdot 2^{0}+1={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2^{n-1}\\2^{n-2}\\\vdots \\2^{0}\end{pmatrix}}+1}$

Рассмотрим ранги кортежей для различных систем:

r	n = 1	n = 2	n = 3
1 2 3 4 5 6 7 8	{0} {1}	{0,0} {0,1} {1,0} {1,1}	{0,0,0} {0,0,1} {0,1,0} {0,1,1} {1,0,0} {1,0,1} {1,1,0} {1,1,1}

Свойство: прибавление нулевых элементов 0 слева ведёт только к увеличению системы, ранг не изменяется.

Определение

Каноническая запись - запись кортежей системы n в порядке возрастания рангов этих кортежей.

Для каждого кортежа можно однозначно определить ранг. Обратное, как можно видеть из таблицы, не верно. Для однозначного определения кортежа необходимо знать также систему.

Нахождение кортежа по его рангу

Способ нахождения ранга по кортежу похож на перевод числа из двоичной системы в десятичную. Для этого кортеж ${\displaystyle ~\omega ^{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$ следует преобразовать в двоичное число ${\displaystyle ~a_{2}={\overline {x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}}}_{2}}$ и преобразовать по правилу ${\displaystyle ~a_{10}=x_{1}\cdot 2^{n-1}+x_{2}\cdot 2^{n-2}+...+x_{n-1}\cdot 2^{1}+x_{n}\cdot 2^{0}}$. Как видно, ${\displaystyle ~r_{\omega }=a_{10}+1}$.

Следовательно, для нахождения кортежа по его рангу надо:

1. Найти ${\displaystyle ~a_{10}=r_{\omega }-1}$
2. Перевести число из десятичной в двоичную систему: ${\displaystyle ~a_{10}}$ в число ${\displaystyle ~a_{2}}$
3. Записать число в наименьшей системе, отбрасывая нули слева
4. Сопоставить каждую цифру числа элементам кортежа ${\displaystyle {\overline {x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}}}_{2}\rightarrow ~\omega ^{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$

Пример:Дан ранг ${\displaystyle ~r=19}$. Найти кортеж по рангу. Сделать проверку.

1. ${\displaystyle ~a_{10}=r_{\omega }-1=19-1=18}$
2. ${\displaystyle ~18_{10}=10010_{2}}$ (алгоритм деления столбиком или иной, например, калькулятор)
3. ${\displaystyle ~\omega ^{5}=\{1,0,0,1,0\}}$

Сделаем проверку: ${\displaystyle ~r_{\omega }=1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}+1=16+2+1=19}$

Системное число ранга r

Как видно, нули в начале никак не влияют на ранг. Например, кортеж ранга r = 2 может быть как кортежом 1-ой, так и 2-ой, и 3-ей системы и выше. А вот кортеж с рангом r = 4 появляется только со 2-ой системы, а с рангом r = 5 - только с 3-ей системы. Значит, существует наименьший номер системы начиная с которого кортеж данного ранга может существовать.

Определение

Системное число sys(r) - наименьшее значение системы для кортежа с рангом r. Данный кортеж существует во всех системах ${\displaystyle ~n\geqslant \mathrm {sys} (r)}$

Видно, что при r = 2: ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (2)=1}$, при r = 5: ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (5)=3}$ и т.п.

Определение sys(r)

Системное число sys(r) определяется по формуле: ${\displaystyle \mathrm {sys} (r)=\left[\log _{2}\left(2r-1\right)\right]}$

Доказательство: Для системы n количество элементов равно ${\displaystyle ~2^{n}}$. Для этой системы задействованы ранги ${\displaystyle r={\overline {1;2^{n}}}}$. При этом, кортежи с рангом ${\displaystyle r={\overline {1;2^{n-1}}}}$ могуты быть задействованы как в системе n, так и в системе (n-1) и ниже, т.е. уже имеют системное число ниже n. Следовательно, кортежи с рангом ${\displaystyle r={\overline {2^{n-1}+1;2^{n}}}}$ используются в системе n и не могут использоваться в системах ниже n, т.е. характерны для системы n (и выше). Тогда для рангов ${\displaystyle r_{1}\leqslant r\leqslant r_{2}}$, где ${\displaystyle ~r_{1}=2^{n-1}+1}$, а ${\displaystyle ~r_{2}=2^{n}}$ n является системным числом, т.е. ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (r)=n}$. Очевидно, что т.к. системное число в показателе, то требуется логарифмирование. Производя логарифмирование над рангами ${\displaystyle r_{1}\leqslant r\leqslant r_{2}}$ получаем вещественные числа на промежутке ${\displaystyle ~\log _{2}r\in (n-1;n]}$, где число n соответсвует уже последнему рангу ${\displaystyle ~r_{2}}$. Для нахождения числа ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (r)=n}$ требуется взять целую часть от числа (${\displaystyle ~[x]=\mathrm {tranc} (x)}$). При этому целые части последнего и остальных рангов разные. Чтобы все ранги получили одинаковую целую часть рассмотрим промежуток ${\displaystyle r_{1}-{\frac {1}{2}}\leqslant r-{\frac {1}{2}}\leqslant r_{2}-{\frac {1}{2}}}$, где ${\displaystyle ~r_{1}-{\frac {1}{2}}=2^{n-1}+{\frac {1}{2}}}$, а ${\displaystyle ~r_{2}-{\frac {1}{2}}=2^{n}-{\frac {1}{2}}}$. Производя логарифмирование получаем вещественные числа на промежутке ${\displaystyle ~\log _{2}\left(r-{\frac {1}{2}}\right)\in (n-1;n)}$, а их вещественная часть у всех совпадает и равна n-1. Следовательно ${\displaystyle ~n-1=\left[\log _{2}\left(r-{\frac {1}{2}}\right)\right]}$, а так как ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (r)=n}$, то следовательно ${\displaystyle \mathrm {sys} (r)=1+\left[\log _{2}\left(r-{\frac {1}{2}}\right)\right]=\left[1+\log _{2}\left(r-{\frac {1}{2}}\right)\right]=\left[\log _{2}\left(2r-1\right)\right]}$ (ч.т.д.)

Основной признак системного числа

Если в кортеже системы n: ${\displaystyle ~\omega =\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$ значение ${\displaystyle ~x_{1}=1}$, то системное число совпадает с системой данного кортежа

Арифметические операции над кортежами

Рассмотрим кортеж ω с рангом r. Обозначим его ${\displaystyle ~\omega _{r}}$. Данный кортеж может находиться в системах ${\displaystyle ~n\geqslant \mathrm {sys} (r)}$. Будем считать, что кортеж находится в минимально возможной системе ${\displaystyle ~n=\mathrm {sys} (r)}$. То, что кортеж находится в системе n обозначают ${\displaystyle ~\omega _{r}^{\{n\}}}$

Рассмотрим два кортежа: ${\displaystyle ~\omega _{a}^{\{n\}}=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}^{\{m\}}=\{b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{m}\}}$ и ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (a)=n,\mathrm {sys} (b)=m}$. Пусть m<n. Дополним нулями кортеж ${\displaystyle ~\omega _{b}^{\{m\}}}$ до системы n ${\displaystyle ~\omega _{b}^{\{n\}}=\{0,0,...,0,b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{m}\}}$ (${\displaystyle ~\omega _{b}^{\{m\}}\rightarrow \omega _{b}^{\{n\}}}$).Как известно, ранг от этого не изменяется. Теперь, когда кортежи находятся в одной системе (но, возможно, с разными системными числами), можно выполнять бинарные операции сложения и умножения. Тогда:

Определение

Для кортежей ${\displaystyle ~\omega _{a}^{\{n\}}=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}^{\{n\}}=\{b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}\}}$
Сумма кортежей ${\displaystyle ~\omega _{c}^{\{n\}}=\omega _{a}^{\{n\}}+\omega _{b}^{\{n\}}}$ - кортеж ${\displaystyle ~\omega _{c}^{\{n\}}=\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},...,a_{n}+b_{n}\}}$
Произведение кортежей ${\displaystyle ~\omega _{c}^{\{n\}}=\omega _{a}^{\{n\}}\cdot \omega _{b}^{\{n\}}}$ - кортеж ${\displaystyle ~\omega _{c}^{\{n\}}=\{a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2},a_{3}\cdot b_{3},...,a_{n}\cdot b_{n}\}}$

Возведение в степень не представляет интереса, так как ${\displaystyle ~(\omega _{a}^{\{n\}})^{k}=\{a_{1}^{k},a_{2}^{k},a_{3}^{k},...,a_{n}^{k}\}=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$. Тогда под записью ${\displaystyle ~\omega _{a}^{k}}$ будем понимать кортеж ${\displaystyle ~\omega _{a}}$ в системе k.

Так же определим особенные кортежи, занимающие крайние положения на границах рангов одной системы.

Определение

Единичный кортеж ${\displaystyle ~\{1\}^{n}}$ - кортеж системы n, вида ${\displaystyle ~\{1,1,...,1\}}$

Нулевой кортеж ${\displaystyle ~\{0\}^{n}}$ - кортеж системы n, вида ${\displaystyle ~\{0,0,...,0\}}$

Для системы n:
${\displaystyle ~\omega _{1}=\{0\}^{n}}$
${\displaystyle ~\omega _{2^{n}}=\{1\}^{n}}$

• При этом нулевой кортеж имеет постоянный ранг (${\displaystyle ~r=1}$) и во всех системах ранг сохраняется, поэтому для нулевого кортежа не обязательно указывать систему. Его системное число равно 1: ${\displaystyle ~\mathrm {sys} {\Bigl (}r(\{0\}^{n}){\Bigr )}=1}$. Тогда будем обозначать нулевой кортеж ${\displaystyle ~\{0\}^{n}=\{0\}}$
• Для единичного кортежа для любого элемента i верно: ${\displaystyle ~x_{i}=1\Rightarrow x_{1}=1}$. Следовательно, системное число кортежа ${\displaystyle ~\{1\}^{n}}$ всегда совпадает с его системой: ${\displaystyle ~\mathrm {sys} {\Bigl (}r(\{1\}^{n}){\Bigr )}=n}$

Определим свойства арифметических операций:

Свойства

${\displaystyle ~\{0\}\cdot \omega =\{0\}}$

Доказательство: ${\displaystyle ~\{0\}\cdot \omega =\{0\cdot x_{1},0\cdot x_{2},0\cdot x_{3},...,0\cdot x_{n}\}=\{0\}}$

${\displaystyle ~\{1\}^{n}\cdot \omega ^{n}=\omega ^{n}}$

Доказательство: ${\displaystyle ~\{1\}^{n}\cdot \omega ^{n}=\{1\cdot x_{1},1\cdot x_{2},1\cdot x_{3},...,1\cdot x_{n}\}=\omega ^{n}}$

${\displaystyle ~\{0\}+\omega =\omega }$

Доказательство: ${\displaystyle ~\{0\}+\omega =\{0+x_{1},0+x_{2},0+x_{3},...,0+x_{n}\}=\omega }$

${\displaystyle ~\omega \cdot \omega =\omega }$

Доказательство: ${\displaystyle ~\omega \cdot \omega =\{x_{1}\cdot x_{1},x_{2}\cdot x_{2},x_{3}\cdot x_{3},...,x_{n}\cdot x_{n}\}=\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}=\omega }$

Замечание: Очевидно, что свойство выполняется ${\displaystyle ~\{1\}^{n}\cdot \omega ^{m}=\omega ^{m}}$ при ${\displaystyle ~m\leqslant n}$. Свойство следует из того, что кортеж ${\displaystyle ~\omega ^{m}}$ можно привести к системе n: ${\displaystyle ~\omega ^{m}\rightarrow \omega ^{n}}$

Оператор инверсии кортежа

Определение

Инверсия кортежа ${\displaystyle ~\omega ^{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$ в системе n - кортеж ${\displaystyle ~{\overline {\omega }}^{n}=\{1\}^{n}+\omega ^{n}=\{{\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}},...,{\overline {x_{n}}}\}}$, ${\displaystyle ~n\geqslant \mathrm {sys} (\omega )}$.

Инверсная система n - система, в которой выполняется инверсия. Может не совпадать с системным числом.

Любой кортеж ω можно инвертировать в системе ${\displaystyle ~n\geqslant \mathrm {sys} (\omega )}$. Такие системы называются допустимыми системами инвертирования для данного кортежа ω.

Для системы кортежей ${\displaystyle ~\omega _{a},\omega _{b},\omega _{c},\ldots }$ допустимой системой является система: ${\displaystyle ~n\geqslant max\left[\mathrm {sys} (\omega _{a}),\mathrm {sys} (\omega _{b}),\mathrm {sys} (\omega _{c}),\ldots \right]}$, т.е. система n должна быть допустимой для каждого кортежа из системы.

Если инверсная система не указана, то в данном случае инверсная система может являться любой допустимой для данного кортежа.

Т.е. ${\displaystyle ~{\overline {\omega }}=~{\overline {\omega }}^{n}}$, где n - допустимая система, т.е. любое натуральное число такое, что ${\displaystyle ~n\geqslant \mathrm {sys} (\omega )}$.

Следует обратить внимание, что один кортеж ω при инвертировании в разных системах даёт разные кортежи.

Например ${\displaystyle ~\omega _{5}=\{1,0,0\}}$ имеет системное число ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (\omega _{5})=3}$. Найдём его инверсию в 3 и 4 инверсной системе. Тогда

${\displaystyle {\overline {\omega _{5}}}^{3}=\{{\overline {1}},{\overline {0}},{\overline {0}}\}=\{0,1,1\}=\{1,1\}=\omega _{4}}$

${\displaystyle {\overline {\omega _{5}}}^{4}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {0}},{\overline {0}}\}=\{1,0,1,1\}=\omega _{12}}$

Свойства инверсии кортежа

1. Инволютивность инверсии кортежа:${\displaystyle {\overline {\left({\overline {\omega }}^{n}\right)}}^{n}=\omega }$ для любой допустимой системы n.

Доказательство: Пусть n - допустимая инверсная система. Тогда ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{n}=\{{\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}},...,{\overline {x_{n}}}\}}$.

Применим еще раз инверсию: ${\displaystyle {\overline {\left({\overline {\omega }}^{n}\right)}}^{n}=\{{\overline {\overline {x_{1}}}},{\overline {\overline {x_{2}}}},...,{\overline {\overline {x_{n}}}}\}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}=\omega }$ в силу инволютивности каждого члена кортежа

2. ${\displaystyle ~\omega \cdot {\overline {\omega }}=\{0\}}$ для любой допустимой системы n.

Доказательство: ${\displaystyle ~\omega \cdot {\overline {\omega }}=\{x_{1}\cdot {\overline {x_{1}}},x_{2}\cdot {\overline {x_{2}}},x_{3}\cdot {\overline {x_{3}}},...,x_{n}\cdot {\overline {x_{n}}}\}=\{0,0,0,...,0\}=\{0\}}$

3. ${\displaystyle ~{\overline {\omega }}^{n}+\omega =\{1\}^{n}}$ для любой допустимой системы n.

Доказательство: ${\displaystyle ~{\overline {\omega }}^{n}+\omega =\{x_{1}+{\overline {x_{1}}},x_{2}+{\overline {x_{2}}},x_{3}+{\overline {x_{3}}},...,x_{n}+{\overline {x_{n}}}\}=\{1;1;1;...;1\}=\{1\}^{n}}$

4. Правило переноса знака: ${\displaystyle ~{\overline {\omega _{x}}}^{n}+\omega _{y}=\omega _{x}+{\overline {\omega _{y}}}^{n}}$, где n - допустимая система для системы кортежей ${\displaystyle ~\omega _{x},\omega _{y}}$

Доказательство: ${\displaystyle ~{\overline {\omega _{x}}}^{n}+\omega _{y}=(\omega _{x}+\{1\}^{n})+\omega _{y}=\omega _{x}+(\{1\}^{n}+\omega _{y})=\omega _{x}+{\overline {\omega _{y}}}^{n}}$

5. ${\displaystyle {\overline {\omega _{x}}}^{n}+{\overline {\omega _{y}}}^{n}=\omega _{x}+\omega _{y}}$, где n - допустимая система для системы кортежей ${\displaystyle ~\omega _{x},\omega _{y}}$

Доказательство: ${\displaystyle {\overline {\omega _{x}}}^{n}+{\overline {\omega _{y}}}^{n}=(\omega _{x}+\{1\}^{n})+(\omega _{y}+\{1\}^{n})=\omega _{x}+\omega _{y}+\{1\}^{n}+\{1\}^{n}=\omega _{x}+\omega _{y}+\{0\}=\omega _{x}+\omega _{y}}$

Законы поглощения для кортежей

1. ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{a}\omega _{b}=\omega _{a}{\overline {\omega _{b}}}}$ для любой допустимой системы кортежа ${\displaystyle ~\omega _{b}}$

Доказательство: ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{a}\omega _{b}=\omega _{a}(\{1\}^{n}+\omega _{b})=a{\overline {b}}}$

2. ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{a}{\overline {\omega _{b}}}=\omega _{a}\omega _{b}}$ для любой допустимой системы кортежа ${\displaystyle ~\omega _{b}}$

Доказательство: Рассмотрим первый закон поглощения: ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{a}\omega _{b}=\omega _{a}{\overline {\omega _{b}}}}$. Прибавим к обеим частям равенства ${\displaystyle ~\omega _{a}}$ и запишем его справа налево: ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{a}{\overline {\omega _{b}}}=\omega _{a}+\omega _{a}+\omega _{a}\omega _{b}=\{0\}+\omega _{a}\omega _{b}=\omega _{a}\omega _{b}}$

Тождества кортежей при инверсии

1. Если инверсная система суммы кортежей является допустимой для системы кортежей её слагаемых, то выполняется тождество:${\displaystyle {\overline {\omega _{a}+\omega _{b}}}^{n}=\omega _{a}+{\overline {\omega _{b}}}^{n}={\overline {\omega _{a}}}^{n}+\omega _{b}}$

Доказательство: ${\displaystyle {\overline {\omega _{a}+\omega _{b}}}^{n}=(\omega _{a}+\omega _{b})+\{1\}^{n}=\omega _{a}+\omega _{b}+\{1\}^{n}=\omega _{a}+{\overline {\omega _{b}}}^{n}={\overline {\omega _{a}}}^{n}+\omega _{b}}$

Замечание: Если инверсная система суммы кортежей является допустимой только для одного слагаемого, то тождество будет допустимо только если инвертироваться будет это слагаемое. Т.е. пусть система n допустима для ${\displaystyle ~\omega _{a}}$ и недопустима для ${\displaystyle ~\omega _{b}}$, то тождество действует: ${\displaystyle {\overline {\omega _{a}+\omega _{b}}}^{n}={\overline {\omega _{a}}}^{n}+\omega _{b}}$. В противном случае, тождество применять нельзя!

2. Если инверсная система произведения кортежей является допустимой для системы кортежей его множителей, то выполняется тождество:

${\displaystyle {\overline {\omega _{a}\omega _{b}}}=\omega _{a}+{\overline {\omega _{a}}}~{\overline {\omega _{b}}}+\omega _{b}={\overline {\omega _{a}}}\omega _{b}+{\overline {\omega _{b}}}={\overline {\omega _{b}}}\omega _{a}+{\overline {\omega _{a}}}}$

Доказательство: Упростим выражение: ${\displaystyle {\overline {\omega _{a}}}~{\overline {\omega _{b}}}=(\omega _{a}+\{1\}^{n})(\omega _{b}+\{1\}^{n})=\omega _{a}\omega _{b}+\omega _{a}+\omega _{b}+\{1\}^{n}={\overline {\omega _{a}\omega _{b}}}+\omega _{a}+\omega _{b}}$. Здесь используем свойство ${\displaystyle ~\{1\}^{n}\cdot \omega ^{m}=\omega ^{m}}$, причём ${\displaystyle ~m\leqslant n}$ в силу допустимости системы.

Отсюда: ${\displaystyle {\overline {\omega _{a}\omega _{b}}}=\omega _{a}+{\overline {\omega _{a}}}~{\overline {\omega _{b}}}+\omega _{b}={\overline {\omega _{a}}}\omega _{b}+{\overline {\omega _{b}}}={\overline {\omega _{b}}}\omega _{a}+{\overline {\omega _{a}}}}$

Замечание: Если инверсная система суммы кортежей не является допустимой хотя бы для одного слагаемого, то тождество применять нельзя, т.к. оно содержит в обязательном порядке инверсии обоих множителей.

Операторы суммы и произведения кортежа

Определение

Оператор суммы S(ω) - отображение ${\displaystyle \Omega ^{n}\to \Omega }$, определяемое соотношением: ${\displaystyle ~S(\omega )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}$, где ${\displaystyle ~\omega =\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}}$
Оператор произведения P(ω) - отображение ${\displaystyle \Omega ^{n}\to \Omega }$, определяемое соотношением: ${\displaystyle ~P(\omega )=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot ...\cdot x_{n}}$, где ${\displaystyle ~\omega =\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\}}$

Свойства оператора произведения

Если ${\displaystyle ~\omega \not =\{1\}^{n}}$, то ${\displaystyle ~P(\omega )=0}$.
Если ${\displaystyle ~\omega =\{1\}^{n}}$, то ${\displaystyle ~P(\omega )=1}$.
Доказательство: Пусть ${\displaystyle ~\omega \not =\{1\}^{n}}$. Предположим, что ${\displaystyle ~x_{k}=0}$, тогда ${\displaystyle ~P(\omega )=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot ...\cdot x_{k}\cdot ...\cdot x_{n}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot ...0\cdot ...\cdot x_{n}\ =0}$. Из свойства единичного произведения следует, что если ${\displaystyle ~\omega =\{1\}^{n}}$, то ${\displaystyle ~P(\omega )=1}$ (ч.т.д.)

Свойства оператора суммы

Если ${\displaystyle ~\omega =\{0\}^{n}}$, то ${\displaystyle ~S(\omega )=0}$.
Если ${\displaystyle ~\omega =\{1\}^{n}}$, то ${\displaystyle ~S(\omega )=odd(n)}$.
Доказательство: Пусть ${\displaystyle ~\omega =\{0\}^{n}}$, тогда ${\displaystyle ~S(\omega )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=0+0+0+...+0=0}$. Если ${\displaystyle ~\omega =\{1\}^{n}}$, то ${\displaystyle ~S(\omega )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=1+1+1+...+1}$. Здесь сумма n слагаемых, причем одинаковых (1). Тогда всё определяется числом слагаемых, верней его четностью (свойство ${\displaystyle ~1\cdot x=x}$). Следовательно ${\displaystyle ~S(\omega )=odd(n)}$(ч.т.д.)

Свойство оператора суммы для суммы операторов и инверсии

${\displaystyle ~S(\omega _{a}^{n}+\omega _{b}^{n})=S(\omega _{a}^{n})+S(\omega _{b}^{n})}$.

${\displaystyle ~S({\overline {\omega }}^{n})=S(\omega ^{n})+odd(n)}$.
Доказательство: Пусть даны кортежи ${\displaystyle ~\omega _{a}^{n}=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}^{n}=\{b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}\}}$. Тогда ${\displaystyle ~S(\omega _{a}^{n}+\omega _{b}^{n})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+...+(a_{n}+b_{n})=(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})=S(\omega _{a}^{n})+S(\omega _{b}^{n})}$. Тогда ${\displaystyle ~S({\overline {\omega }}^{n})=S(\omega ^{n}+\{1\}^{n})=S(\omega ^{n})+S(\{1\}^{n})=S(\omega ^{n})+odd(n)}$ (ч.т.д.)

Свойство оператора произведения для произведения операторов

${\displaystyle ~P(\omega _{a}^{n}\cdot \omega _{b}^{n})=P(\omega _{a}^{n})\cdot P(\omega _{b}^{n})}$.

Доказательство: Пусть даны кортежи ${\displaystyle ~\omega _{a}^{n}=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}^{n}=\{b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n}\}}$. Тогда ${\displaystyle ~P(\omega _{a}^{n}\cdot \omega _{b}^{n})=\prod _{i=1}^{n}(a_{i}\cdot b_{i})=(a_{1}\cdot b_{1})\cdot (a_{2}\cdot b_{2})\cdot ...\cdot (a_{n}\cdot b_{n})=(a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n})\cdot (b_{1}\cdot b_{2}\cdot ...\cdot b_{n})=P(\omega _{a}^{n})\cdot P(\omega _{b}^{n})}$ (ч.т.д.)

Системное число суммы, произведения кортежей, инверсии кортежа

В самом начале арифметических операций над кортежами рассматривались два кортежа: ${\displaystyle ~\omega _{a}^{n}=\{a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}^{m}=\{b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{m}\}}$. Пусть m<n. Дополним нулями кортеж ${\displaystyle ~\omega _{b}^{m}}$ до системы n (системным числом этого кортежа по прежнему остаётся m) ${\displaystyle ~\omega _{b}^{n}=\{0,0,...,0,b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{m}\}}$ (${\displaystyle ~\omega _{b}^{m}\rightarrow \omega _{b}^{n}}$).

Эта операция называется приведение (увеличение) системы. После приведения можно производить операции суммы и произведения, которые выполняются над n элементами в отдельности с каждой парой и в результате получается кортеж системы n.

Сумма и произведение

• Пусть ${\displaystyle ~n>m}$ и ${\displaystyle ~\omega _{s}=\omega _{a}^{n}+\omega _{b}^{m}}$, тогда ${\displaystyle ~a_{1}=1,b_{1}=0,s_{1}=a_{1}+b_{1}=1+0=1}$. Следовательно, по основному признаку системного числа в этом случае ${\displaystyle ~\omega _{s}}$ имеет системное число n.

• Пусть ${\displaystyle ~n=m}$ и ${\displaystyle ~\omega _{p}=\omega _{a}^{n}\cdot \omega _{b}^{n}}$, тогда ${\displaystyle ~a_{1}=1,b_{1}=1,p_{1}=a_{1}\cdot b_{1}=1\cdot 1=1}$. Следовательно, по основному признаку системного числа в этом случае ${\displaystyle ~\omega _{p}}$ имеет системное число n.

• Пусть ${\displaystyle ~n=m}$ и ${\displaystyle ~\omega _{s}=\omega _{a}^{n}+\omega _{b}^{n}}$, тогда ${\displaystyle ~a_{1}=1,b_{1}=1,s_{1}=a_{1}+b_{1}=1+1=0}$. Следовательно, ${\displaystyle ~\omega _{s}}$ имеет системное число меньше n.

• Пусть ${\displaystyle ~n>m}$ и ${\displaystyle ~\omega _{p}=\omega _{a}^{n}\cdot \omega _{b}^{m}}$, тогда ${\displaystyle ~a_{1}=1,b_{1}=0,p_{1}=a_{1}\cdot b_{1}=1\cdot 0=0}$. Следовательно ${\displaystyle ~\omega _{p}}$ имеет системное число меньше n.

Сведём сведения в таблицу:

	Сумма	Произведение
${\displaystyle ~n>m}$	${\displaystyle ~\mathrm {sys} (s)=n}$	${\displaystyle ~\mathrm {sys} (p)<n}$
${\displaystyle ~n=m}$	${\displaystyle ~\mathrm {sys} (s)<n}$	${\displaystyle ~\mathrm {sys} (p)=n}$

Инверсия

Пусть ${\displaystyle ~\mathrm {r} (\omega )=r_{0}}$, а ${\displaystyle ~\mathrm {r} ({\overline {\omega }}^{n})=r_{1}}$.
Пусть ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (r_{0})=n_{0}}$, а ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (r_{1})=n_{1}}$

Произведем операцию инверсии: ${\displaystyle ~{\overline {\omega ^{n}}}=\{1\}^{n}+\omega ^{n}}$ в инверсной системе n.

• Пусть ${\displaystyle ~n=n_{0}}$ - системное число. Т.е. инверсная система совпадает с системой данного кортежа. Тогда ${\displaystyle ~x_{1}=1}$, а ${\displaystyle ~{\overline {x_{1}}}=0}$, что понижает системное число минимум на единицу. Следовательно, инверсия влечет за собой обязательное уменьшение системного числа ${\displaystyle ~n_{1}<n_{0}}$ (исключение составляет ${\displaystyle ~n_{0}=1}$).
• Если инверсия производится в инверсной системах выше системного числа кортежа ${\displaystyle ~n>n_{0}}$ , тогда в системе n ${\displaystyle ~x_{1}=0}$, а ${\displaystyle ~{\overline {x_{1}}}=1}$, т.е. в системе n у кортежа ${\displaystyle ~{\overline {\omega ^{n}}}:{\overline {x_{1}}}=1\Rightarrow n_{1}=n}$. Инверсия кортежа будет иметь системное число совпадающее с инверсной системой, т.е. происходит увеличение системы.

Инверсная система	${\displaystyle ~\omega ^{n}}$	${\displaystyle ~{\overline {\omega ^{n}}}}$	Результат
${\displaystyle ~n=n_{0}}$	${\displaystyle ~n_{0}=n}$	${\displaystyle ~n_{1}<n}$	${\displaystyle ~n_{0}>n_{1}}$
${\displaystyle ~n>n_{0}}$	${\displaystyle ~n_{0}<n}$	${\displaystyle ~n_{1}=n}$	${\displaystyle ~n_{0}<n_{1}}$

Пример: Рассмотрим кортежи ${\displaystyle ~\omega _{6}^{3}=\{1,0,1\}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{6}^{4}=\{0,1,0,1\}}$. Их системное число ${\displaystyle ~n_{0}=3}$. Произведём инверсии в инверсных системах n=3 и n=4.

${\displaystyle ~{\overline {\omega _{6}^{3}}}={\overline {\{1,0,1\}}}=\{0,1,0\}}$ - системное число стало ${\displaystyle ~n_{1}=2}$
${\displaystyle ~{\overline {\omega _{6}^{4}}}={\overline {\{0,1,0,1\}}}=\{1,0,1,0\}}$ - системное число стало ${\displaystyle ~n_{1}=4}$

Ранги кортежей в сумме кортежей

Пусть дана система n с количеством рангов ${\displaystyle ~2^{n}}$. Рассмотрим сумму кортежей с рангами систем 1,2 и 3.

r	n = 1	n = 2	n = 3
1 2 3 4 5 6 7 8	{0} {1}	{0,0} {0,1} {1,0} {1,1}	{0,0,0} {0,0,1} {0,1,0} {0,1,1} {1,0,0} {1,0,1} {1,1,0} {1,1,1}

Найдём их сумму, в результате будем записывать только ранг:

${\displaystyle ~\omega _{+}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ 1 2 ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ 2 1

${\displaystyle ~\omega _{+}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{4}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ 1 2 3 4 ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ 2 1 4 3 ${\displaystyle ~\omega _{3}}$ 3 4 1 2 ${\displaystyle ~\omega _{4}}$ 4 3 2 1

${\displaystyle ~\omega _{+}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{4}}$ ${\displaystyle ~\omega _{5}}$ ${\displaystyle ~\omega _{6}}$ ${\displaystyle ~\omega _{7}}$ ${\displaystyle ~\omega _{8}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$ 1 2 3 4 5 6 7 8 ${\displaystyle ~\omega _{2}}$ 2 1 4 3 6 5 8 7 ${\displaystyle ~\omega _{3}}$ 3 4 1 2 7 8 5 6 ${\displaystyle ~\omega _{4}}$ 4 3 2 1 8 7 6 5 ${\displaystyle ~\omega _{5}}$ 5 6 7 8 1 2 3 4 ${\displaystyle ~\omega _{6}}$ 6 5 8 7 2 1 4 3 ${\displaystyle ~\omega _{7}}$ 7 8 5 6 3 4 1 2 ${\displaystyle ~\omega _{8}}$ 8 7 6 5 4 3 2 1

Правило 1 - правило инверсии

Как видно из таблиц, единичные элементы ${\displaystyle ~\omega _{2^{n}}}$ (т.е. ${\displaystyle ~\omega _{2}}$, ${\displaystyle ~\omega _{4}}$, ${\displaystyle ~\omega _{8}}$) выстраиваются по побочной диагонали, для которой верно:

${\displaystyle ~\omega _{1}+\omega _{2^{n}}=\{1\}^{n}}$
${\displaystyle ~\omega _{2}+\omega _{2^{n}-1}=\{1\}^{n}}$
..........................................
${\displaystyle ~\omega _{i}+\omega _{2^{n}-i+1}=\{1\}^{n}}$
..........................................
${\displaystyle ~\omega _{2^{n}}+\omega _{1}=\{1\}^{n}}$

Правило 1 (правило инверсии)

${\displaystyle ~\omega _{i}^{n}={\overline {\omega _{2^{n}-i+1}}}^{n}}$

Например:

${\displaystyle ~\omega _{1}^{2}={\overline {\omega _{4}}}^{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}^{2}={\overline {\omega _{3}}}^{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{3}^{2}={\overline {\omega _{2}}}^{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{4}^{2}={\overline {\omega _{1}}}^{2}}$

${\displaystyle ~\omega _{1}^{3}={\overline {\omega _{8}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}^{3}={\overline {\omega _{7}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{3}^{3}={\overline {\omega _{6}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{4}^{3}={\overline {\omega _{5}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{5}^{3}={\overline {\omega _{4}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{6}^{3}={\overline {\omega _{3}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{7}^{3}={\overline {\omega _{2}}}^{3}}$ ${\displaystyle ~\omega _{8}^{3}={\overline {\omega _{1}}}^{3}}$

Правило 2 - правило сумматора

Определение

Сумматор - число ${\displaystyle ~s=2^{n}+1}$ для системы n

Правило 2 (правило сумматора)

Если сумма рангов суммируемых кортежей равна сумматору s системы, в которой они складываются, то сумма кортежей равна единичному кортежу ${\displaystyle ~\{1\}^{n}}$ с соответсвующим рангом ${\displaystyle ~r=2^{n}}$

Доказательство: В самом деле, ${\displaystyle ~\omega _{i}^{n}={\overline {\omega _{2^{n}-i+1}}}^{n}\Rightarrow \omega _{i}+\omega _{2^{n}-i+1}=\{1\}^{n}}$.
А сумма рангов: ${\displaystyle ~S_{r}=i+(2^{n}+1-i)=2^{n}+1=S}$- равна сумматору. (ч.т.д.)

Частные случаи правила сумматора:

• n=2: s=5 - правило пятёрки
• n=3: s=9 - правило девятки

Правило 3 - тождественное правило

Правило 3 (тождественное правило)

${\displaystyle ~\omega _{i}+\omega _{i}=\omega _{1}=\{0\}}$

Доказательство: ${\displaystyle ~\omega _{i}+\{0\}=\omega _{i}\Rightarrow \omega _{i}+\omega _{i}=\omega _{1}=\{0\}}$ (ч.т.д.).

Инверсные преобразования

Инверсные преобразования

• Инверсное преобразование в системе n - преобразование вида ${\displaystyle ~\omega =\{1\}^{n}+{\overline {\omega }}^{n}}$. Также называют одинарное инверсное преобразование.
• Двойное инверсное преобразование в системе n - преобразование вида ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{b}={\overline {\omega _{a}}}^{n}+{\overline {\omega _{b}}}^{n}}$.

Доказательство: ${\displaystyle ~{\overline {\omega _{a}}}^{n}+{\overline {\omega _{b}}}^{n}=\omega _{a}+\{1\}^{n}+\omega _{b}+\{1\}^{n}=\omega _{a}+\omega _{b}+\{0\}=\omega _{a}+\omega _{b}}$ (ч.т.д.).

Методика нахождения ранга суммы кортежей. Понятие рациональной системы

Рассмотрим два кортежа ${\displaystyle ~\omega _{a}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}}$, причём ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (a)=A}$, а ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (b)=B}$ - системные числа этих кортежей. Пусть A>B, тогда для того чтобы найти сумму, необходимо произвести приведение кортежа: ${\displaystyle ~\omega _{b}^{B}\rightarrow \omega _{b}^{A}}$. При этом реальная система кортежей может быть и выше, но это не повлияет на результат, так что лучше производить вычисления в минимально возможной системе.

Определение

Рациональная система - наименьшая система, в которой над двумя кортежами можно выполнять действия суммы, а также и произведения. Т.е. пусть даны два кортежа ${\displaystyle ~\omega _{a}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{b}}$. Пусть наибольший ранг ${\displaystyle ~m=\max(a,b)}$. Тогда рациональная система определяется, как ${\displaystyle ~n=\mathrm {sys} (m)}$ (или пишут: ${\displaystyle ~n=\mathrm {sys} (a,b)}$)

Название показывает, что работать в системе, выше рациональной - не разумно, так как на результат это не влияет, а вычисления проще в более низкой системе.

Ответ получается в рациональной системе!

Обратив внимание на таблицы сложения рангов можно заметить отсутствие интуитивных правил работы с рангами. Также можно заметить, что чем ниже рациональная система, тем проще вычисления. Известно, что хорошо понижают систему инверсные преобразования. Известно, если инверсная система равна системному числу кортежа, то инверсия понижает системное число.

• Двойное инверсное преобразование следует применять в сумме ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{b}}$, если ${\displaystyle ~n=\mathrm {sys} (a)=\mathrm {sys} (b)}$. Если выбрать инверсную систему n совпадающую с рациональной, то это понизит системное число одновременно обеих кортежей: ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{b}={\overline {\omega _{a}}}^{n}+{\overline {\omega _{b}}}^{n}}$.
• Инверсное преобразование следует применять в сумме ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{b}}$, если ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (a)\not =\mathrm {sys} (b)}$. Пусть ${\displaystyle ~\mathrm {sys} (a)>\mathrm {sys} (b)}$. Если выбрать инверсную систему ${\displaystyle ~n=\mathrm {sys} (a)}$ наибольшего ранга, т.е. с наибольшим системным числом, то это понизит его системное число: ${\displaystyle ~\omega _{a}+\omega _{b}=\{1\}^{n}+{\overline {\omega _{a}}}^{n}+\omega _{b}}$. И так продолжаем понижать систему до тех пор, пока невозможно будет воспользоваться двойным инверсным преобразованием, т.е. до тех пор пока не уравняем системные числа кортежей с помощью инверсного преобразования.

Примеры вычисления ранга суммы кортежей

• ${\displaystyle ~\omega _{7}+\omega _{6}=?}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (\omega _{7})=3}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (\omega _{6})=3}$

Так как системные числа совпадают, то рациональная система также равна n=3, применяем двойное инверсное преобразование в рациональной системе.

${\displaystyle ~\omega _{7}+\omega _{6}={\overline {\omega _{7}}}^{3}+{\overline {\omega _{6}}}^{3}=\omega _{2^{3}+1-7}+\omega _{2^{3}+1-6}=\omega _{2}+\omega _{3}}$.

Здесь также можно было воспользоваться правилом девятки для системы n=3:

${\displaystyle ~{\overline {\omega _{7}}}^{3}+{\overline {\omega _{6}}}^{3}=\omega _{9-7}+\omega _{9-6}=\omega _{2}+\omega _{3}}$.

Для данных кортежей: ${\displaystyle ~\omega _{2}+\omega _{3}}$ повторим то же самое:

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (\omega _{2})=1;\mathrm {sys} (\omega _{3})=2}$. Рациональная система n=2.

Так как системные числа разные, применим инверсное преобразование к кортежу с большим системным числом, чтобы понизить его систему:

${\displaystyle ~\omega _{2}+\omega _{3}=~\omega _{2}+\{1\}^{2}+{\overline {\omega _{3}}}^{2}}$.

По правилу инверсии: ${\displaystyle ~{\overline {\omega _{3}}}^{2}=\omega _{5-3}=\omega _{2}}$

В результате получаем: : ${\displaystyle ~\omega _{2}+\omega _{3}=~\omega _{2}+\{1\}^{2}+{\overline {\omega _{3}}}^{2}=~\omega _{2}+~\omega _{2}+\{1\}^{2}=\{1\}^{2}=\omega _{2^{2}}=\omega _{4}}$ в силу правила тождественности.

Ответ: ${\displaystyle ~\omega _{7}+\omega _{6}=\omega _{4}}$

• ${\displaystyle ~\omega _{14}+\omega _{17}=?}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (\omega _{14})=4}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (\omega _{17})=5}$

Так как системные числа не совпадают, то рациональная система равна большему системному числу n=5, применяем инверсное преобразование в рациональной системе к кортежу с большим системным числом.

${\displaystyle ~\omega _{14}+\omega _{17}=~\omega _{14}+\{1\}^{5}+{\overline {\omega _{17}}}^{5}}$.

По правилу инверсии: ${\displaystyle ~{\overline {\omega _{17}}}^{5}=\omega _{2^{5}+1-17}=\omega _{16}}$

Но ${\displaystyle ~\omega _{16}=\omega _{2^{4}}=\{1\}^{4}}$

Тогда ${\displaystyle ~\omega _{14}+\omega _{17}=\omega _{14}+\omega _{16}+\{1\}^{5}=\omega _{14}+\{1\}^{4}+\{1\}^{5}}$

${\displaystyle \omega _{14}+\{1\}^{4}+\{1\}^{5}={\overline {\omega _{14}}}^{4}+\{1\}^{5}=\omega _{2^{4}+1-14}+\{1\}^{5}=\omega _{3}+\{1\}^{5}={\overline {\omega _{3}}}^{5}=\omega _{2^{5}+1-3}=\omega _{30}}$

Ответ: ${\displaystyle ~\omega _{14}+\omega _{17}=\omega _{30}}$

Ранги кортежей в произведении кортежей

Основные свойства произведения при выполнении произведения кортежей в рангах являются:

${\displaystyle \omega _{1}\cdot \omega =\omega _{1}}$ или ${\displaystyle \{0\}\cdot \omega =\{0\}}$

${\displaystyle \omega \cdot \omega =\omega }$

${\displaystyle \omega \cdot {\overline {\omega }}=\omega _{1}=\{0\}}$

Основным тождеством при работе с произведением кортежей является закон поглощения: ${\displaystyle ~\omega _{a}\omega _{b}=\omega _{a}+\omega _{a}{\overline {\omega _{b}}}}$ для любой допустимой системы кортежа ${\displaystyle ~\omega _{b}}$

Известно, что если инверсная система равна системному числу кортежа (т.е. ${\displaystyle ~n=\mathrm {sys} (\omega _{b})}$), то ранг кортежа понижается. При этом ранг другого кортежа в законе поглощения никак не меняется.

Основной принцип: понижать ранг кортежа с наибольшим системным числом. Если они совпадают, то можно начинать с любого кортежа.

Таким образом, задача нахождения ранга произведения кортежей сводится к задаче нахождения ранга суммы кортежей.

Примеры вычисления ранга произведения кортежей

• ${\displaystyle ~\omega _{3}\cdot \omega _{7}=?}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (3)=2}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (7)=3}$

${\displaystyle ~\omega _{3}\cdot \omega _{7}=\omega _{3}\cdot {\overline {\omega _{7}}}^{3}+\omega _{3}=\omega _{3}\cdot \omega _{2}+\omega _{3}}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (2)=1}$

${\displaystyle ~\mathrm {sys} (3)=2}$

${\displaystyle ~\omega _{3}\cdot \omega _{2}+\omega _{3}={\overline {\omega _{3}}}^{2}\cdot \omega _{2}+\omega _{2}+\omega _{3}=\omega _{2}\cdot \omega _{2}+\omega _{2}+\omega _{3}=\omega _{2}+\omega _{2}+\omega _{3}=\omega _{3}}$

Ответ: ${\displaystyle ~\omega _{3}\cdot \omega _{7}=\omega _{3}}$

Функция чётности нескольких переменных (ФНП чётности)

Рассмотрим отображение ${\displaystyle f:\Omega ^{n}\rightarrow \Omega }$. Будем обозначать эту функцию ${\displaystyle ~y=f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$.

Определение

Функция чётности f нескольких переменных - функция ${\displaystyle ~y=f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$, осуществляющая отображение множеств${\displaystyle f:\Omega ^{n}\rightarrow \Omega }$.

Переменные ФНП - переменные ${\displaystyle ~x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}}$

Рассмотрим количество возможных ФНП чётности:

• Одна переменная может принимать два значения ${\displaystyle ~(0;1)}$
• Две переменных - количество возможных комбинаций переменных ${\displaystyle ~2^{2}=4}$
• n переменных - количество возможных комбинаций переменных ${\displaystyle ~2^{n}}$

Векторные функции чётности нескольких переменных

Рассмотрим отображение ${\displaystyle f:\Omega ^{m}\rightarrow \Omega ^{n}}$. Будем обозначать ${\displaystyle ~f:~\upsilon =f(\omega )}$, здесь ${\displaystyle \upsilon \in \Omega ^{m},~\omega \in \Omega ^{n}}$.

Здесь и ${\displaystyle ~\upsilon }$, и ${\displaystyle ~\omega }$ являются кортежами.

Если ${\displaystyle ~m=n}$, то можно говорить об отображении ${\displaystyle f:\Omega ^{n}\rightarrow \Omega ^{n}}$, т.е. о преобразовании кортежа ${\displaystyle ~\omega }$ в ${\displaystyle ~\upsilon }$

Преобразования кортежей

Определение

Преобразование кортежей ${\displaystyle ~f:\omega _{r_{1}}^{n}\to \upsilon _{r_{2}}^{n}}$ - отображение вида ${\displaystyle \Omega ^{n}\to \Omega ^{n}}$, т.е. отображение изменяющее элементы кортежа, не изменяющее его систему.

Значит при преобразовании кортежа можно говорить только об изменении ранга кортежа в пределах системы.

Линейная комбинация системы кортежей

Будем рассматривать кортежи одной системы как векторы: ${\displaystyle ~\omega _{(1)},\omega _{(2)},\ldots ,\omega _{(k)}\in \Omega ^{n}}$ - система векторов. Скобки означают, что число является индексом, а не рангом. Так как теперь мы переходим от кортежей к векторам, то будем записывать вектор ${\displaystyle ~\omega ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$, для кортежа с индексом ${\displaystyle ~\omega _{(j)}={\begin{pmatrix}x_{1j}\\x_{2j}\\\vdots \\x_{nj}\end{pmatrix}}}$.

Здесь для ${\displaystyle ~x_{ij}}$:

• первый индекс ${\displaystyle ~1\leqslant i\leqslant n}$- номер элемента данного кортежа
• второй индекс ${\displaystyle ~1\leqslant j\leqslant k}$ - номер выбранного кортежа

Отметим, что вектор характеризуется конкретным n-мерным пространством. Так, кортеж ${\displaystyle ~\omega _{2}=\{1\}=\{0,1\}=\{0,0,1\}=\cdots }$ характеризуется отдельными, неравными между собой векторами в пространствах разной размерности:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\omega _{(1)}^{1}=(1)\\&\omega _{(2)}^{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\&\omega _{(3)}^{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Определение

Линейная комбинация кортежей ${\displaystyle ~\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{k}\in \Omega ^{n}}$ - кортеж вида ${\displaystyle ~\varkappa ^{n\times 1}=\alpha _{1}\omega _{1}+\alpha _{2}\omega _{2}+\ldots +\alpha _{k}\omega _{k}={\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}&\cdots &\omega _{k}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{k}\end{pmatrix}}}$,
где ${\displaystyle ~\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k}\in \Omega }$ - произвольный набор нулей или единиц.

Коэффициенты линейной комбинации - коэффициенты ${\displaystyle ~\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k}\in \Omega }$.

Вектор линейной комбинации - вектор ${\displaystyle ~\alpha ^{k\times 1}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{k}\end{pmatrix}}}$

Эти определения являются полной аналогией линейной зависимости линейного пространства.

Составим матрицу системы векторов: ${\displaystyle ~W^{n\times k}={\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}&\cdots &\omega _{k}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nk}\\\end{pmatrix}}}$

Тогда их линейная комбинация ${\displaystyle ~\varkappa ={\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&\cdots &x_{1k}\\x_{21}&x_{22}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&x_{n2}&\cdots &x_{nk}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{k}\end{pmatrix}}=W\cdot \alpha }$

• Если ${\displaystyle ~\alpha =\{0\}^{k}}$, то линейная комбинация ${\displaystyle ~\varkappa =W\cdot \alpha =\{0\}^{n}}$ называется тривиальной.
• Если ${\displaystyle ~\alpha \not =\{0\}^{k}}$, то линейная комбинация ${\displaystyle ~\varkappa =W\cdot \alpha }$ называется нетривиальной.

Линейная зависимость системы кортежей

Определение

Линейно зависимая система векторов ${\displaystyle ~W={\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}&\cdots &\omega _{k}\end{pmatrix}}}$ - система векторов, для которой существует такая нетривиальная линейная комбинация, что ${\displaystyle ~\varkappa =W\cdot \alpha =\{0\}^{n}}$, т.е. ${\displaystyle ~{\mathcal {9}}\alpha \not =\{0\}^{k}:~\varkappa =W\cdot \alpha =\{0\}^{n}}$.

Линейно независимая система векторов ${\displaystyle ~W={\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}&\cdots &\omega _{k}\end{pmatrix}}}$ -система векторов, линейная комбинация которой равна нулю только в случае тривиальной комбинации, т.е. ${\displaystyle ~\varkappa =W\cdot \alpha =\{0\}^{n}\Leftrightarrow \alpha =\{0\}^{k}}$

Примеры:

• Векторы: ${\displaystyle ~\omega _{5}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{7}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$ линейно независимы.

Действительно, рассмотрим линейную комбинацию:${\displaystyle ~\varkappa =W\cdot \alpha ={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}+\alpha _{2}\\\alpha _{2}\\0\end{pmatrix}}}$.

Тогда ${\displaystyle ~\varkappa =\{0\}}$, если ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}+\alpha _{2}\\\alpha _{2}\\0\end{pmatrix}}=0}$, т.е. ${\displaystyle {\begin{cases}\alpha _{1}+\alpha _{2}=0\\\alpha _{2}=0\\0=0\\\end{cases}}}$

Отсюда, ${\displaystyle ~\alpha _{1}=0,~\alpha _{2}=0}$, т.е. ${\displaystyle ~\alpha =0}$. Следовательно, система векторов линейно независима.

Теорема (о линейной независимости двух векторов)

Формулировка: Любые два различных ненулевых вектора линейно независимы.

Доказательство: Пусть дана система векторов ${\displaystyle ~W={\begin{pmatrix}\omega _{(1)}&\omega _{(2)}\end{pmatrix}}}$. Рассмотрим линейную комбинацию: ${\displaystyle ~\varkappa =W\alpha =\alpha _{1}\omega _{(1)}+\alpha _{2}\omega _{(2)}}$. Рассмотрим все возможные ${\displaystyle ~\alpha }$:

• ${\displaystyle ~\alpha ={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$, т.е. ${\displaystyle ~\alpha _{1}=0,\alpha _{2}=0}$. Тогда ${\displaystyle ~\varkappa =\alpha _{1}\omega _{(1)}+\alpha _{2}\omega _{(2)}=0}$
• ${\displaystyle ~\alpha ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$, т.е. ${\displaystyle ~\alpha _{1}=0,\alpha _{2}=1}$. Тогда ${\displaystyle ~\varkappa =\alpha _{1}\omega _{(1)}+\alpha _{2}\omega _{(2)}=\omega _{(2)}\not =0}$
• ${\displaystyle ~\alpha ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$, т.е. ${\displaystyle ~\alpha _{1}=1,\alpha _{2}=0}$. Тогда ${\displaystyle ~\varkappa =\alpha _{1}\omega _{(1)}+\alpha _{2}\omega _{(2)}=\omega _{(1)}\not =0}$
• ${\displaystyle ~\alpha ={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$, т.е. ${\displaystyle ~\alpha _{1}=1,\alpha _{2}=1}$. Тогда ${\displaystyle ~\varkappa =\alpha _{1}\omega _{(1)}+\alpha _{2}\omega _{(2)}=\omega _{(1)}+\omega _{(2)}\not =0}$

Последнее неравенство ${\displaystyle \omega _{(1)}+\omega _{(2)}\not =0}$ следует из того, что вектора различны. Действительно, если бы ${\displaystyle ~\omega _{(1)}+\omega _{(2)}=0}$, то, добавив к обеим частям ${\displaystyle ~\omega _{(2)}}$ получим, что ${\displaystyle ~\omega _{(1)}=\omega _{(2)}}$, что противоречит условию теоремы.

Следовательно, ${\displaystyle ~\varkappa =0}$ только тогда, когда ${\displaystyle ~\alpha =0}$, т.е. два вектора всегда линейно независимы. (ч.т.д.)

Базис

Определение

Базис ${\displaystyle ~B={\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}&\cdots &\omega _{k}\end{pmatrix}}}$ n-мерного пространства - линейно независимая система векторов, в которой для любого вектора ${\displaystyle ~\omega \in \Omega ^{n}}$ существует линейная комбинация векторов базиса, т.е. ${\displaystyle ~{\mathcal {8}}\omega \in \Omega ^{n}~~{\mathcal {9}}\alpha :\omega =B\alpha }$

Базисные векторы - векторы ${\displaystyle ~{\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}&\cdots &\omega _{k}\end{pmatrix}}}$.

Примеры:

• Векторы ${\displaystyle ~\omega _{(1)}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{(2)}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ являются базисом в двумерном пространстве.
• Векторы ${\displaystyle ~\omega _{(1)}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{(2)}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}}$ не являются базисом в трёхмерном пространстве, т.к. например вектор ${\displaystyle ~\omega _{(3)}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\in \Omega ^{3}}$ нельзя выразить через данные.

Действительно, попробуем найти ${\displaystyle ~\alpha _{1},\alpha _{2}}$ такие, что ${\displaystyle ~\omega _{(3)}=\alpha _{1}\omega _{(1)}+\alpha _{2}\omega _{(2)}}$, т.е. ${\displaystyle ~{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}=\alpha _{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\\alpha _{2}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}}$.

Тогда получается, что ${\displaystyle {\begin{cases}\alpha _{1}=1\\\alpha _{2}=0\\\alpha _{2}=1\\\end{cases}}}$, данная система не имеет решений!

Единичное преобразование кортежа

В примере на определение ранга сумм ${\displaystyle ~\omega _{14}+\omega _{17}=\omega _{30}}$ мы получили, что ${\displaystyle ~\omega _{30}=\omega _{14}+\{1\}^{4}+\{1\}^{5}}$. В свою очередь ${\displaystyle ~\omega _{14}=\{1\}^{4}+{\overline {\omega _{14}}}^{4}=\{1\}^{4}+\omega _{2^{4}+1-14}=\{1\}^{4}+\omega _{3}=\{1\}^{4}+\{1\}^{2}+{\overline {\omega _{3}}}^{2}=}$ ${\displaystyle =\{1\}^{4}+\{1\}^{2}+\omega _{2^{2}+1-3}=\{1\}^{4}+\{1\}^{2}+\omega _{2}=\{1\}^{4}+\{1\}^{2}+\{1\}^{1}}$. Отсюда ${\displaystyle ~\omega _{30}=\{1\}^{4}+\{1\}^{2}+\{1\}^{1}+\{1\}^{4}+\{1\}^{5}=\{1\}^{5}+\{1\}^{2}+\{1\}^{1}}$

Это можно записать: ${\displaystyle ~\omega _{30}=1\cdot \{1\}^{5}+0\cdot \{1\}^{4}+0\cdot \{1\}^{3}+1\cdot \{1\}^{2}+1\cdot \{1\}^{1}={\begin{pmatrix}1&0&0&1&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\{1\}^{5}\\\{1\}^{4}\\\{1\}^{3}\\\{1\}^{2}\\\{1\}^{1}\end{pmatrix}}}$

Значит любой кортеж можно представить в виде: ${\displaystyle ~\omega _{r}={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&...&e_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\{1\}^{n}\\\{1\}^{n-1}\\\{1\}^{n-2}\\...\\\{1\}^{1}\end{pmatrix}}}$, где n -системное число кортежа ${\displaystyle ~\omega _{r}}$

Кортеж ${\displaystyle ~e_{z}=\{e_{1};e_{2};...;e_{n}\}}$ — единичное преобразование кортежа ${\displaystyle ~\omega _{r}}$

Определение

Единичное преобразование кортежа ${\displaystyle ~\omega _{r}}$ - такой кортеж ${\displaystyle ~e_{z}=\{e_{1};e_{2};...;e_{n}\}}$, что ${\displaystyle ~\omega _{r}={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&...&e_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\{1\}^{n}\\\{1\}^{n-1}\\\{1\}^{n-2}\\...\\\{1\}^{1}\end{pmatrix}}}$, где n -системное число кортежа ${\displaystyle ~\omega _{r}}$

Теорема о существовании и единственности единичного преобразования кортежа

Для любого кортежа ${\displaystyle ~\omega _{r}}$ существует и единственное единичное преобразование кортежа ${\displaystyle ~\omega _{r}}$ в ${\displaystyle ~e_{z}}$

Доказательство:

   С у щ е с т в о в а н и е : Для доказательства существования рассмотрим заготовку: ${\displaystyle ~Z^{n}=\{1;0;0;...;0\}}$, имеющей только одну единицу в начале. Очевидно, что ${\displaystyle ~\omega _{r}^{n}=\{\omega _{1};\omega _{2};...;\omega _{n}\}=\omega _{1}\cdot Z^{n}+\omega _{2}\cdot Z^{n-1}+...+\omega _{n}\cdot Z^{1}=\sum _{k=1}^{n}\omega _{k}\cdot Z^{n+1-k}}$. В то же время ${\displaystyle ~Z^{n}=\{1;0;0;...;0\}=\{1;1;1;...;1\}+\{0;1;1;...;1\}=\{1\}^{n}+\{1\}^{n-1}}$. Следовательно, ${\displaystyle ~\omega _{r}^{n}=\{\omega _{1};\omega _{2};...;\omega _{n}\}=\sum _{k=1}^{n}\omega _{k}\cdot (\{1\}^{n+1-k}+\{1\}^{n-k})=\omega _{n}\cdot \{1\}^{1}+\omega _{n-1}\cdot (\{1\}^{2}+\{1\}^{1})+...+\omega _{1}\cdot (\{1\}^{n}+\{1\}^{n-1})=}$ ${\displaystyle ~(\omega _{n}+\omega _{n-1})\cdot \{1\}^{1}+(\omega _{n-1}+\omega _{n-2})\cdot \{1\}^{2}+...+(\omega _{1})\cdot \{1\}^{n}}$ Следовательно, существует такой кортеж: ${\displaystyle ~e_{z}^{n}=\{\omega _{1};\omega _{1}+\omega _{2};\omega _{2}+\omega _{3};...;\omega _{n-1}+\omega _{n}\}}$, который является единичным преобразованием кортежа.

   Е д и н с т в е н н о с т ь : Докажем методом от противного: Пусть существует два кортежа ${\displaystyle ~e=\{e_{1};e_{2};...;e_{n}\}}$ и ${\displaystyle ~f=\{f_{1};f_{2};...;f_{n}\}}$ такие, что

${\displaystyle ~\omega _{r}={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&...&e_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\{1\}^{n}\\\{1\}^{n-1}\\\{1\}^{n-2}\\...\\\{1\}^{1}\end{pmatrix}}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{r}={\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}&...&f_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\{1\}^{n}\\\{1\}^{n-1}\\\{1\}^{n-2}\\...\\\{1\}^{1}\end{pmatrix}}}$

Т.е. ${\displaystyle ~e_{1}\cdot \{1\}^{n}+e_{2}\cdot \{1\}^{n-1}+...+e_{n}\cdot \{1\}^{1}=f_{1}\cdot \{1\}^{n}+f_{2}\cdot \{1\}^{n-1}+...+f_{n}\cdot \{1\}^{1}}$. Отсюда ${\displaystyle ~(e_{1}+f_{1})\cdot \{1\}^{n}+(e_{2}+f_{2})\cdot \{1\}^{n-1}+...+(e_{n}+f_{n})\cdot \{1\}^{1}=0}$.

Здесь идет цепочка (композиция) инверсий ("инверсия от инверсии"), причем каждая последующая имеет меньшее системное число, чем предыдущая. Следовательно, применение одной инверсии на другую ведет к неизбежному увеличению системного числа. Единственное возможное решение - это ${\displaystyle ~e_{1}+f_{1}=0;e_{2}+f_{2}=0;...;e_{n}+f_{n}=0}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle ~e_{1}=f_{1};e_{2}=f_{2};...;e_{n}=f_{n}}$, т.е. кортежи совпадают: ${\displaystyle ~e^{n}=f^{n}}$ (ч.т.д.)

Данная теорема даёт метод нахождения единичного преобразования кортежа.

${\displaystyle ~e_{1}=\omega _{1}}$

${\displaystyle ~e_{2}=\omega _{1}+\omega _{2}}$

${\displaystyle ~e_{3}=\omega _{2}+\omega _{3}}$

${\displaystyle ~e_{4}=\omega _{3}+\omega _{4}}$

${\displaystyle ~.............}$

${\displaystyle ~e_{n}=\omega _{n-1}+\omega _{n}}$

Пример:

• ${\displaystyle ~\{1;1;1;0;0;1\}=\{1;1;1;1;1;1\}+\{0;0;0;1;1;1\}+\{0;0;0;0;0;1\}=\{1\}^{6}+\{1\}^{3}+\{1\}^{1}=}$

${\displaystyle ~=1\cdot \{1\}^{6}+0\cdot \{1\}^{5}+0\cdot \{1\}^{4}+1\cdot \{1\}^{3}+0\cdot \{1\}^{2}+1\cdot \{1\}^{1}}$

Следовательно: ${\displaystyle ~e=\{1;0;0;1;0;1\}}$

Или, как следует из теоремы:

${\displaystyle ~e_{1}=\omega _{1}=1}$

${\displaystyle ~e_{2}=\omega _{1}+\omega _{2}=0}$

${\displaystyle ~e_{3}=\omega _{2}+\omega _{3}=0}$

${\displaystyle ~e_{4}=\omega _{3}+\omega _{4}=1}$

${\displaystyle ~e_{5}=\omega _{4}+\omega _{5}=0}$

${\displaystyle ~e_{6}=\omega _{5}+\omega _{6}=1}$

Замечание : Из теоремы следует, что у кортежей ${\displaystyle ~\omega }$ и ${\displaystyle ~e}$ равны первые элементы: ${\displaystyle ~e_{1}=\omega _{1}}$. Следовательно, системное число единичного преобразования совпадает с начальным системным числом.

Свойство единичного преобразования суммы кортежей

Единичное преобразование суммы кортежей равно сумме единичных преобразований этих кортежей: ${\displaystyle ~e[\omega _{A}+\omega _{B}]=e[\omega _{A}]+e[\omega _{B}]}$

Доказательство: Пусть кортежи ${\displaystyle ~\omega _{A}}$ и ${\displaystyle ~\omega _{B}}$ приведены к одной системе n. Пусть ${\displaystyle ~e[\omega _{A}]=f}$, а ${\displaystyle ~e[\omega _{B}]=g}$, тогда ${\displaystyle ~\omega _{A}+\omega _{B}=(f_{1}\cdot \{1\}^{n}+f_{2}\cdot \{1\}^{n-1}+...+f_{n}\cdot \{1\}^{1})+(g_{1}\cdot \{1\}^{n}+g_{2}\cdot \{1\}^{n-1}+...+g_{n}\cdot \{1\}^{1})=}$

${\displaystyle ~=(f_{1}+g_{1})\cdot \{1\}^{n}+(f_{2}+g_{2})\cdot \{1\}^{n-1}+...+(f_{n}+g_{n})\cdot \{1\}^{1}}$

Следовательно, кортеж ${\displaystyle ~f+g=e[\omega _{A}+\omega _{B}]=e[\omega _{A}]+e[\omega _{B}]}$ (ч.т.д.)