Условие Брэгга — Вульфа

Условие Брэгга — Вульфа (также условие Вульфа — Брэггов) определяет направление максимумов дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Выведено в 1913 независимо У. Л. Брэггом[1] и Г. В. Вульфом[2]. Имеет вид:

${\displaystyle \quad 2d\sin \theta =n\lambda }$

где d — межплоскостное расстояние, θ — угол скольжения (брэгговский угол), n — порядок дифракционного максимума, λ — длина волны.

Брэгговская дифракция может наблюдаться не только для электромагнитных волн, но и для волн материи (волновых функций). В частности, экспериментально это было впервые продемонстрировано для нейтронов в 1936 году[3], а позднее также для отдельных атомов[4], конденсата Бозе — Эйнштейна[5], электронов[6], двухатомных[7] и многоатомных[8] молекул.

Вывод

Брэгговская дифракция

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке. Как видно, есть разница в путях между лучом, отражённым вдоль AC' и лучом, прошедшим ко второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC. Разница в путях запишется как

${\displaystyle (AB+BC)-(AC').}$

Если эта разница равна целому числу волн n, то две волны придут в точку наблюдения с одинаковыми фазами, испытав интерференцию. Математически можно записать:

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')=n\lambda }$

где λ — длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что

${\displaystyle AB={\frac {d}{\sin \theta }}}$, ${\displaystyle BC={\frac {d}{\sin \theta }},}$, ${\displaystyle AC={\frac {2d}{\tan \theta }}}$

как и следующие соотношения:

${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta }$

Собрав всё вместе получим известное выражение:

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$

После упрощения получим закон Брэгга

${\displaystyle n\lambda =2d\cdot \sin \theta ~~~~(1).}$

Применение

Условие Брэгга — Вульфа позволяет определить межплоскостные расстояния d в кристалле, так как λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Условие (1) получено без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, причём ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или к тому и другому одновременно.

Условие Брэгга — Вульфа является исходным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии.

Условие Брэгга — Вульфа остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука.

В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Брэгга — Вульфа.

Пример устройств на основе эффекта

Примечания

1. Bragg, W. H.; Bragg, W. L. (1913). "The Reflexion of X-rays by Crystals". Proc. R. Soc. Lond. A. 88 (605): 428–38. Bibcode:1913RSPSA..88..428B. doi:10.1098/rspa.1913.0040.
2. Брэгга — Вульфа условие  (неопр.). Дата обращения: 26 апреля 2020. Архивировано 4 марта 2021 года.
3. Dana P. Mitchell, Philip N. Powers. Bragg Reflection of Slow Neutrons // Physical Review. — 1936-09-01. — Т. 50, вып. 5. — С. 486–487. — doi:10.1103/PhysRev.50.486.2.
4. Peter Martin, Bruce Oldaker, Andrew Miklich, David Pritchard. Bragg scattering of atoms from a standing light wave (англ.) // Physical Review Letters. — 1988-02. — Vol. 60, iss. 6. — P. 515–518. — ISSN 0031-9007. — doi:10.1103/PhysRevLett.60.515.
5. M. Kozuma, L. Deng, E. W. Hagley, J. Wen, R. Lutwak. Coherent Splitting of Bose-Einstein Condensed Atoms with Optically Induced Bragg Diffraction (англ.) // Physical Review Letters. — 1999-02-01. — Vol. 82, iss. 5. — P. 871–875. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — doi:10.1103/PhysRevLett.82.871.
6. Daniel L. Freimund, Herman Batelaan. Bragg Scattering of Free Electrons Using the Kapitza-Dirac Effect (англ.) // Physical Review Letters. — 2002-12-30. — Vol. 89, iss. 28. — P. 283602. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — doi:10.1103/PhysRevLett.89.283602.
7. J. R. Abo-Shaeer, D. E. Miller, J. K. Chin, K. Xu, T. Mukaiyama. Coherent Molecular Optics Using Ultracold Sodium Dimers (англ.) // Physical Review Letters. — 2005-02-03. — Vol. 94, iss. 4. — P. 040405. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — doi:10.1103/PhysRevLett.94.040405.
8. Christian Brand, Filip Kiałka, Stephan Troyer, Christian Knobloch, Ksenija Simonović. Bragg Diffraction of Large Organic Molecules (англ.) // Physical Review Letters. — 2020-07-16. — Vol. 125, iss. 3. — P. 033604. — ISSN 1079-7114 0031-9007, 1079-7114. — doi:10.1103/PhysRevLett.125.033604.

См. также

• Дифракция

Литература

• Bragg W. L., «The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17, 43 (1914).
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. энциклопедия. Т. 1: Аронова — Бома эффект — Длинные линии. — М.: БСЭ, 1988. — 704 с., ил.