Название улицы (Амбарная) связано с амбаром (эст.ait), построенным на улице в 1692—1695 годах.
Прежде улица называлась «перекресток у монастыря», по существовавшему по соседству (улица Суур-Клоостри) Михайловскому монастырю цистерцианского ордена.
Название Аида (нем.Speichergasse) было официально подтверждено для улицы в 1872 году.
В связи с реконструкцией Таллинского городского театра часть застройки была снесена в 1988—1990 годах для возведения большого зала театра, но потом это строительство было заморожено. На этом месте в настоящее время организована летняя площадка театра.
Дом 3 — территория бывшего монастыря. В 1692—1695 годах построено складское здание (д. 5), крупнейший на то время склад в городе[3]. В 1823 году был настроен второй этаж и возведена новая крыша (архитектор Бантельман). Повреждения, полученные зданием во время Великой Отечественной войны, устранены в 1954—1955 годах. В 1974—1980 годах здание было отреставрировано и его занял Музей прикладного искусства.
Дом 6 — построен в XV веке. Восстановлен в 1723—1739 годах после разрушений во время Северной войны и приспособлен под склад, часть порталов, окон, ниш замурованы, в фасаде устроены грузовые люки.
Дом 19 — дом на северном углу с улицей Лай входит в структуру Таллинского городского театра. Значительное место на улице занимает летняя площадка этого театра[4].