Трансфинитная последовательность

Трансфинитная последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$ — отображение ${\displaystyle a\colon [0;\alpha )\to X}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — некоторый ординал. Ординал ${\displaystyle \alpha }$ называется длиной[1] или типом[2] трансфинитной последовательности ${\displaystyle a}$.

Частные случаи:

• трансфинитная последовательность длины ${\displaystyle n<\omega }$ — конечная последовательность;
• трансфинитная последовательность длины ${\displaystyle \omega }$ — последовательность в классическом понимании, то есть отображение из множества натуральных чисел.

Множество всех трансфинитных последовательностей элементов множества ${\displaystyle X}$ длины ${\displaystyle \alpha }$ обозначается ${\displaystyle X^{\alpha }}$, длины меньше ${\displaystyle \alpha }$ — ${\displaystyle X^{<\alpha }}$, длины меньшей или равной ${\displaystyle \alpha }$ — ${\displaystyle X^{\leq \alpha }}$.

Для трансфинитных последовательностей аналогично обычным можно определить предел. Пусть ${\displaystyle a_{\gamma }}$ — последовательность элементов топологического пространства ${\displaystyle X}$, а её длина ${\displaystyle \alpha }$ — предельный ординал (ненулевой ординал не имеющий предшественника). Будем считать, что на ${\displaystyle [0;\alpha )}$ задана порядковая топология. Пределом трансфинитной последовательности называется её обычный топологический предел при стремлении аргумента к ${\displaystyle \alpha }$.

Трансфинитная класс-последовательность (в широком смысле) элементов класса ${\displaystyle X}$ — либо обычная трансфинитная последовательность, либо класс-функция ${\displaystyle a:\operatorname {Ord} \to X}$, где ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$ — класс всех ординалов. В узком смысле класс-последовательность — класс-функция ${\displaystyle a:\operatorname {Ord} \to X}$. Обычно под термином класс-последовательность имеют в виду именно класс последовательность в узком смысле, поскольку все остальные трансфинитные класс-последовательности являются трансфинитными последовательностями в обычном понимании.

Примеры класс-последовательностей: иерархия алефов, иерархия фон Неймана.

Примечания

1. Сперанский, с. 7.
2. Wolk, 1983, с. 365.

Литература

• Трансфинитная последовательность — статья из Математической энциклопедии. Л. Д. Кудрявцев
• Сперанский С. О. Основные понятия теория множеств: 7/8  (рус.). https://homepage.mi-ras.ru/~speranski/ (14 октября 2020). Дата обращения: 1 апреля 2024.
• Wolk Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin : журнал. — 1983. — Vol. 26, no. 3. — P. 365–367. — doi:10.4153/CMB-1983-062-5.