Транспозиция (математика)

Транспозиция — перестановка множества, меняющая местами два его элемента.

Определение

Транспозицией конечного множества ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ называется такая его перестановка ${\displaystyle f}$, то есть биекция из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$, что существуют такие индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$, что ${\displaystyle f(a_{i})=a_{j}}$, ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i}}$ и ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k}}$ для всех остальных индексов ${\displaystyle k}$.

Транспозиция называется элементарной, если индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ — соседние.

Транспозиция является частным случаем циклической перестановки и часто обозначается символом ${\displaystyle (a_{i},a_{j})}$ или ${\displaystyle (a_{j},a_{i})}$.

Пример

Перестановка ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\}}$, заданная правилом

${\displaystyle f(a)=a,\ f(b)=e,\ f(c)=c,\ f(d)=d,\ f(e)=b,}$

является транспозицией и записывается символом ${\displaystyle (b,e)}$.

Свойства

Любая перестановка конечного множества может быть представлена в виде композиции элементарных транспозиций.

Знак перестановки может быть вычислен из разложения перестановки в произведение транспозиций: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m}}$, где ${\displaystyle m}$ — число транспозиций в разложении.

Литература

• Транспози́ция // Математический энциклопедический словарь / Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 586. — 847 с. — 150 000 экз.
• Транспози́ция // Тихоходки — Ульяново. — М. : Советская энциклопедия, 1977. — С. 153. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 26).
• Транспози́ция // Толковый словарь математических терминов : (Около 1800 терминов) : [Пособие для учителей] / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; под ред. проф. В. А. Диткина. — Москва : Просвещение, 1965. — С. 457. — 539 с. : ил.; 22 см.
• Транспози́ція // Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1984. — Т. 11, кн. 1 : Стодола — Фітогеографія. — С. 325. — 606, [2] с., [22] арк. іл. : іл., портр., карти с. (укр.)