Теоремы Паппа — Гульдина

Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привёл). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640)[1].

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии[2][3].

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры[2][4].

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой ${\displaystyle l}$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой ${\displaystyle l}$.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через ${\displaystyle n}$, сами точки через ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$, …, ${\displaystyle M_{n}}$, массу каждой точки через ${\displaystyle m}$, а расстояния точек от прямой ${\displaystyle l}$ через ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, …, ${\displaystyle r_{n}}$.

Для ${\displaystyle n=1}$, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для ${\displaystyle n-1}$ точки. Тогда их центр тяжести ${\displaystyle P}$ находится на расстоянии

${\displaystyle r={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}}{n-1}}}$.

Заменим систему материальных точек ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$, …, ${\displaystyle M_{n-1}}$ точкой ${\displaystyle P}$, сосредоточив в ней массу, равную ${\displaystyle (n-1)m}$. Остаётся найти центр тяжести ${\displaystyle O}$ двух материальных точек ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle M_{n}}$. Так как точка ${\displaystyle P}$ имеет массу ${\displaystyle (n-1)m}$, а точка ${\displaystyle M_{n}}$ — массу ${\displaystyle m}$, то

${\displaystyle PO:OM_{n}=1:(n-1)}$.

Следовательно, если ${\displaystyle r^{*}}$ — расстояние от точки ${\displaystyle O}$ до прямой (рис. 1), то

${\displaystyle (r-r^{*}):(r^{*}-r_{n})=1:(n-1)}$,

откуда

${\displaystyle r^{*}={\frac {(n-1)r+r_{n}}{n}}={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n-1}+r_{n}}{n}}}$

Таким образом, утверждение леммы справедливо для ${\displaystyle n}$ материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является ${\displaystyle n}$-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину ${\displaystyle m}$. Середины звеньев ломаной обозначим через ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$, …, ${\displaystyle M_{n}}$, а расстояния от этих точек до прямой ${\displaystyle l}$ — через ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$, …, ${\displaystyle r_{n}}$. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой ${\displaystyle l}$ получается поверхность , состоящая из ${\displaystyle n}$ частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

${\displaystyle S=m\cdot 2\pi r_{1}+m\cdot 2\pi r_{2}+\ldots +m\cdot 2\pi r_{n}}$.

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна ${\displaystyle P=mn}$, можно переписать выражение для площади

${\displaystyle S=P\cdot 2\pi R}$,

где

${\displaystyle R={\frac {r_{1}+r_{2}+...+r_{n}}{n}}}$,

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$, …, ${\displaystyle M_{n}}$, в каждой из которых сосредоточена масса ${\displaystyle m}$, согласно лемме, отстоит от прямой ${\displaystyle l}$ на расстоянии ${\displaystyle R}$. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию ${\displaystyle K}$, при вращении которой при вращении вокруг оси ${\displaystyle l}$ получается поверхность ${\displaystyle Q}$. Впишем в неё ломаную ${\displaystyle L}$, содержащую ${\displaystyle m}$ звеньев. При вращении ${\displaystyle L}$ вокруг оси ${\displaystyle l}$ получим поверхность ${\displaystyle T}$, площадь которой равна ${\displaystyle S=P\cdot 2\pi R}$, где ${\displaystyle P}$ — длина ломаной ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle R}$ — расстояние от центра тяжести ломаной ${\displaystyle L}$ до оси вращения ${\displaystyle l}$.

Если считать ${\displaystyle m\to 0}$, то длина ломаной ${\displaystyle L}$ будет стремиться к длине линии ${\displaystyle K}$, площадь поверхности ${\displaystyle T}$ будет стремиться к площади поверхности ${\displaystyle Q}$, центр тяжести ломаной ${\displaystyle L}$ будет стремиться к центру тяжести кривой ${\displaystyle K}$. Так как для любого ${\displaystyle m}$ соотношение ${\displaystyle S=P\cdot 2\pi R}$ справедливо для ${\displaystyle L}$, то переходя к пределу ${\displaystyle m\to 0}$, найдем, что оно справедливо и для кривой ${\displaystyle K}$.

Примечания

1. Глейзер, 1983, с. 176.
2. Глейзер, 1983, с. 177.
3. Фихтенгольц, т. II, 1969, с. 229.
4. Фихтенгольц, т. II, 1969, с. 232.

Литература

• Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX – X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
• Фихтенгольц Г. М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — 800 с.