Теорема сравнения Берже — Каждана

Теорема сравнения Берже — Каждана — результат в римановой геометрии. Теорема дает точную нижнюю оценку на объём риманова многообразия, в терминах радиуса инъективности, при этом в случае равенства многообразие изометрично стандартной сфере.

Теорема названа в честь Марселя Берже и Джерри Каждана.

Формулировка

Пусть (M,g) — компактное m-мерное риманово многообразие с радиусом инъективности хотя бы ${\displaystyle \pi }$. Тогда объём (M,g) не меньше объёма единичной m-мерной сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{m}}$. Более того, в случае равенства, (M,g) изометрично ${\displaystyle \mathbb {S} ^{m}}$.

Литература

• Berger, Marcel; Kazdan, Jerry L.^[англ.]. A Sturm–Liouville inequality with applications to an isoperimetric inequality for volume in terms of injectivity radius, and to Wiedersehen manifolds // Proceedings of Second International Conference on General Inequalities, 1978 (англ.). — Birkhauser^[англ.], 1980. — P. 367—377.
• Kodani, Shigeru. An Estimate on the Volume of Metric Balls (неопр.) // Kodai Mathematical Journal. — 1988. — Т. 11, № 2. — С. 300—305. — doi:10.2996/kmj/1138038881.