Теорема Томсена

Теорема Томсена, ${\displaystyle P_{7}=P_{1}}$

Теорема Томсена, названная именем немецкого математика Герхарда Томсена^[англ.], — это теорема элементарной геометрии, согласно которой определённая ломаная, построенная из отрезков, которые параллельны сторонам треугольника, всегда завершается в начальной точке.

Формулировка

Рассмотрим произвольный треугольник ${\displaystyle ABC}$ с точкой ${\displaystyle P_{1}}$ на стороне ${\displaystyle BC}$. Последовательность точек и параллельных прямых строится следующим образом: параллельная стороне ${\displaystyle AC}$ прямая через точку ${\displaystyle P_{1}}$ пересекает сторону ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle P_{2}}$, а параллельная стороне ${\displaystyle BC}$ прямая, проходящая через точку ${\displaystyle P_{2}}$, пересекает сторону${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle P_{3}}$. Продолжим аналогичное построение. Параллельная стороне ${\displaystyle AB}$ прямая через точку ${\displaystyle P_{3}}$ пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точке ${\displaystyle P_{4}}$, а параллельная стороне ${\displaystyle AC}$ прямая через точку ${\displaystyle P_{4}}$ пересекает сторону ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle P_{5}}$. Наконец, параллельная стороне ${\displaystyle BC}$ прямая через точку ${\displaystyle P_{5}}$ пересекает сторону ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle P_{6}}$, а параллельная стороне ${\displaystyle AB}$ прямая через точку ${\displaystyle P_{6}}$ пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точке ${\displaystyle P_{7}}$. Теорема Томсена утверждает, что точки ${\displaystyle P_{7}}$ и ${\displaystyle P_{1}}$ совпадают, поэтому построение всегда приводит к замкнутому пути ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}P_{1}}$.

Доказательство

Наличие в условии теоремы большого числа различных пар параллельных прямых, пересекающих стороны треугольника, даёт возможность многократного использования теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках, из которой следуют соотношения:

${\displaystyle P_{5}P_{6}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {AP_{5}}{AB}},}$

${\displaystyle P_{4}P_{5}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {AP_{5}}{AB}}={\dfrac {CP_{4}}{CB}},}$

${\displaystyle P_{3}P_{4}\parallel AB\Longrightarrow {\dfrac {CP_{4}}{CB}}={\dfrac {CP_{3}}{CA}},}$

${\displaystyle P_{2}P_{3}\parallel BC\Longrightarrow {\dfrac {CP_{3}}{CA}}={\dfrac {BP_{2}}{BA}},}$

${\displaystyle P_{1}P_{2}\parallel CA\Longrightarrow {\dfrac {BP_{2}}{BA}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}.}$

Таким образом, ${\displaystyle {\dfrac {AP_{6}}{AC}}={\dfrac {BP_{1}}{BC}}}$. Отсюда, по теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что ${\displaystyle P_{6}P_{1}\parallel AB}$. Но по условию ${\displaystyle P_{6}P_{7}\parallel AB}$. Поэтому ${\displaystyle P_{1}=P_{7}}$.

См. также

• Треугольник

Литература

• Satz von Thomsen // Schülerduden – Mathematik II. — Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004. — С. 358–359. — ISBN 3-411-04275-3. (Немецкий язык)

Ссылки

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (Немецкий язык)
• Weisstein, Eric W. Thomsen's Figure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.