Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее[1]:

Если ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ являются алгебраически независимыми над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то есть, степень трансцендентности расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})}$ равна ${\displaystyle n}$

Часто используется другая эквивалентная формулировка[2]:

Для любых различных алгебраических чисел ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}}$ числа ${\displaystyle e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$.

История

В 1882 году Линдеман доказал, что ${\displaystyle e^{\alpha }}$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического ${\displaystyle \alpha }$[3], а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число ${\displaystyle \pi }$ является алгебраическим. Тогда число ${\displaystyle i\pi }$, где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число ${\displaystyle e^{i\pi }}$ трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу ${\displaystyle -1}$, что вызывает противоречие. Следовательно, число ${\displaystyle \pi }$ трансцендентно.

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
2. Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X.. Chapter 1, Theorem 1.4.
3. F. Lindemann. Über die Zahl π (нем.) // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882). — S. 213—225.

Литература

• Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
• Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4