Теорема Кэли (теория групп)

Теорема Кэли — теоретико-групповое утверждение об изоморфности всякой конечной группы ${\displaystyle (G_{n},\circ )}$ порядка ${\displaystyle n}$ некоторой подгруппе группы перестановок ${\displaystyle S_{n}}$. При таком соответствии каждый элемент ${\displaystyle a\in G}$ сопоставляется с перестановкой ${\displaystyle \pi _{a}}$, задаваемой тождеством ${\displaystyle \pi _{a}(g)=a\circ g}$, где ${\displaystyle g}$ — произвольный элемент группы ${\displaystyle G}$.

Например, для группы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}}$ с заданной операцией ${\displaystyle +}$ можно определить отображение ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}}$:

${\displaystyle \varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}}$

В данном построении перестановка ${\displaystyle \varphi (n)}$ для каждого ${\displaystyle n}$ задаёт «таблицу сложения» с числом ${\displaystyle n}$, например, число 2 в ${\displaystyle \varphi (1)}$ переходит на сумму (операцию группы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}}$) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, ${\displaystyle \varphi (0)}$ задаёт тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} _{G}(g)=g}$, и отображение ${\displaystyle \varphi }$ является гомоморфизмом.

Теоретико-категорное обобщение — лемма Йонеды (в её рамках группа может быть рассмотрена как категория из одного объекта).

Доказательство

Пусть ${\displaystyle G}$ - наша группа, ${\displaystyle n=|G|}$. Можно считать, что ${\displaystyle S_{n}}$ - группа всех биективных отображений множества ${\displaystyle G}$ на себя, так как природа элементов, переставляемых элементами из ${\displaystyle S_{n}}$, несущественна.

Для любого элемента ${\displaystyle a\in G}$ рассмотрим отображение ${\displaystyle L_{a}:G\rightarrow G}$, определённое формулой ${\displaystyle L_{a}(g)=ag}$.

Если ${\displaystyle e=g_{1}}$${\displaystyle ,g_{2},...,g_{n}}$ - все элементы группы ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle a,ag_{2},...,ag_{n}}$ будут теми же элементами, но расположенными в каком-то другом порядке. ${\displaystyle ag_{i}=ag_{j}\Rightarrow a^{-1}(ag_{i})=a^{-1}(ag_{j})\Rightarrow (a^{-1}a)g_{i}=(a^{-1}a)g_{j}\Rightarrow g_{i}=g_{j}}$

Значит, ${\displaystyle L_{a}}$ - биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет ${\displaystyle L_{a}^{-1}=L_{{a}^{-1}}}$. Единичным отображением является, естественно ${\displaystyle L_{e}}$.

Используя вновь ассоциативность умножения в ${\displaystyle G}$, получаем ${\displaystyle L_{ab}(g)=(ab)g=a(bg)=L_{a}(L_{b}g)}$, т.е. ${\displaystyle L_{ab}=L_{a}L_{b}}$

Итак, множество ${\displaystyle L_{e},L_{g_{2}},...,L_{g_{n}}}$ образуют подгруппу, скажем, ${\displaystyle H}$, в группе ${\displaystyle S(G)}$ всех биективных отображений множества ${\displaystyle G}$ на себя, т.е. в ${\displaystyle S_{n}}$. Мы имеем включение ${\displaystyle H\subset S_{n}}$ и имеем соответствие ${\displaystyle L:a\mapsto L_{a}\in H}$, обладающее по сказанному выше всеми свойствами изоморфизма.

Литература

• Александров П. С. . Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — (Библиотечка «Квант», вып. 7).
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.