В 1824 году Сади Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой он сформулировал основные положения теории тепловых машин, описал замкнутый термодинамический цикл рабочего тела тепловой машины. В этой же работе он впервые изложил второе начало термодинамики[2]. В своей работе Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода».
С. Карно расуждал о движущей силе тепла по аналогии с силой падающей воды и описал предельное количество энергии, которую можно извлечь из разницы температур нагретых тел.
…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла
Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами…
Формулировки
Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата:
«Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:
1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника:
2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников:
Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):
3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и холодильника :
, ибо практически невозможно осуществить условие и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : .
4°. Термический к.п.д. произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами и нагревателя и холодильника:
5°. Термический к.п.д. произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами и :
Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.
Доказательства теоремы Карно
Существует несколько различных доказательств этой теоремы.
Рассуждение Сади Карно
…В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода.
Современное доказательство для идеального газа
Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).
Процесс D-E:
Поскольку газ идеальный, и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре , превращается во внешнюю работу:
[1]
Процесс В-C:
Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:
[2]
Процессы E-B и C-D:
Поскольку газ идеальный и зависит только от температуры , из уравнения следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием , получаем:
Чтобы найти связь между , , и , заметим, что, согласно уравнению Пуассона , в адиабатических процессах:
(E → B):
(C → D):
и, следовательно,
Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем
В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен
Примечания
↑Карно теорема // Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1983. Карно теорема // Физическая энциклопедия : в 5 т. / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1988.
↑Глаголев, К.В.3.2. Цикл Карно // Физика в техническом университете : курс системы открытого образования : электр. учебн. пособ. : в 6 т. / К.В. Глаголев, А.Н. Морозов. — МГТУ им. Баумана, 2001–2002. — Т. 2 : Физическая термодинамика.
Литература
Carnot, S. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance : [фр.]. — Paris : Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
Карно, Николя Леонар Сади. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу / Пер. с фр. В. Р. Бурсиана и Ю. А. Круткова.
Тер Хаар, Д. Элементарная термодинамика = D. Ter Haar, Oxford University, H. Wergeland, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. Elements of Thermodynamics. Addison-Wesley Publishing Company / Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд. — М. : Мир, 1968.
Яворский, Б. М. Справочник по физике : для студентов и инженеров вузов / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. — 7-е изд., испр. — М. : Наука, 1979.
Глаголев, К. В. Физическая термодинамика / К. В. Глаголев, А. Н. Морозов. — М. : МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
Яворский, Б. М. Физика : справ. рук-во для поступающих в вузы / Б. М. Яворский, Ю. А. Селезнев. — 5-е изд., перераб. — М. : Физматлит, 2004.
Ссылки
Карно, С. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу : [арх. 23 апреля 2018] // Научная сеть. — РОО "Мир Науки и Культуры", 1824. — ISSN1684-9876.