Теорема Зеелигера

Теорема Зеелигера (Зелигера[1]) в астрономии — утверждение, что для любого ${\displaystyle m}$ число звёзд с видимой звёздной величиной ярче ${\displaystyle m+1}$ в 3,98 раз больше, чем звёзд ярче величины ${\displaystyle m}$. Теорема выполняется при отсутствии межзвёздного поглощения и равномерном распределении звёзд в пространстве. Теорема сформулирована Хуго Зелигером и носит его имя. Отклонения результатов наблюдения от вывода теоремы вызваны главным образом наличием межзвёздного поглощения и позволяют измерить его величину.

Формулировка

Теорема Зеелигера формулируется в двух предположениях: звёзды всех абсолютных звёздных величин распространены в пространстве равномерно, а межзвёздное поглощение отсутствует[2][3].

Можно рассмотреть звезду произвольной светимости, которая находится на расстоянии ${\displaystyle r}$ от наблюдателя и имеет видимую звёздную величину ${\displaystyle m}$. Из предположения об отсутствии поглощения следует, что освещённость от звезды обратно пропорциональна квадрату расстояния до неё, а так как звезда такой же светимости величины ${\displaystyle m+1}$ приблизительно в 2,512 раз[комм. 1] тусклее звезды с величиной ${\displaystyle m}$, она должна находиться на расстоянии ${\displaystyle {\sqrt {2{,}512}}\cdot r\approx 1{,}58~r}$[2].

Таким образом, при одинаковой светимости звёзды величины ярче ${\displaystyle m}$ должны находиться внутри сферы с радиусом ${\displaystyle r}$, а ярче ${\displaystyle m+1}$ — в сфере радиуса ${\displaystyle {\sqrt {2{,}512}}\cdot r}$. Из предположения о равномерности распределения звёзд в пространстве следует, что число ${\displaystyle N}$ звёзд пропорционально объёму, который они занимают[2]:

${\displaystyle {\frac {N(m+1)}{N(m)}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi ({\sqrt {2{,}512}}\cdot r)^{3}}{{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}}={\sqrt {2{,}512}}^{3}\approx 3{,}98}$

Таким образом, для звёзд любой светимости, а значит, и для всей совокупности звёзд оказывается верно, что количество звёзд ярче величины ${\displaystyle m+1}$ примерно в 3,98 раз больше количества звёзд ярче величины ${\displaystyle m}$[2].

Сравнение с наблюдениями

Реальное распределение звёзд по звёздным величинам отличается от выводимого из теоремы — функция ${\displaystyle N(m)}$ при увеличении ${\displaystyle m}$ растёт медленнее, чем предполагается. Это отклонение вызвано в первую очередь существованием межзвёздного поглощения: чем оно больше, тем сильнее должно быть отклонение наблюдательных данных от выводимого в теореме[1]. Кроме того, для областей вблизи полюсов галактики ${\displaystyle N(m)}$ возрастает медленнее, чем вблизи галактического экватора, иными словами, тусклые звёзды больше сконцентрированы в плоскости диска Галактики[2].

Распределение звёзд по звёздным величинам[2]

${\displaystyle m}$	${\displaystyle N(m)}$ для определённой части неба	${\displaystyle {\frac {N(m+1)}{N(m)}}}$
		Всё небо	Вблизи галактического экватора	Вблизи полюсов Галактики
4	3,57⋅10^2	2,88	2,88	2,88
5	1,32⋅10^3	2,85	2,85	2,85
6	2,94⋅10^3	2,80	2,82	2,77
7	8,24⋅10^3	2,77	2,80	2,70
8	2,28⋅10^4	2,72	2,77	2,60
9	6,21⋅10^4	2,67	2,75	2,50
10	1,66⋅10^5	2,61	2,70	2,39
11	4,32⋅10^5	2,54	2,67	2,29
12	1,10⋅10^6	2,47	2,62	2,17
13	2,71⋅10^6	2,39	2,55	2,06
14	6,47⋅10^6	2,31	2,46	1,97
15	1,49⋅10^7	2,22	2,35	1,87
16	3,31⋅10^7	2,12	2,23	1,77
17	7,03⋅10^7	2,03	2,13	1,68
18	1,43⋅10^8	1,93	2,04	1,60
19	2,75⋅10^8	1,84	1,93	1,51
20	5,06⋅10^8	1,76	1,84	1,43
21	8,89⋅10^8

История изучения

Теорему впервые сформулировал Хуго Зелигер в 1889 году[2]. Он же, проведя звёздные подсчёты до величины 13,5^m, оценил величину межзвёздного поглощения в диске Галактики, но его оценка оказалась сильно заниженной: она составила 0,3^m на 4 килопарсека, в то время как сейчас эта величина оценивается как 2^m на килопарсек[5]. По этим же данным он построил модель Млечного Пути, которая имела форму эллипсоида вращения размером 14,4×3,3 килопарсека, с Солнцем в центре[1].

Примечания

Комментарии

1. 2,512 — приближённое значение величины ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}}$: отличие на 5 звёздных величин соответствует отношению потоков света ровно в 100 раз[4].

Источники

1. Зелигер Хуго  (неопр.). Астронет. Дата обращения: 9 июня 2021. Архивировано 24 декабря 2010 года.
2. Звездная астрономия в лекциях. Структура Галактики и типы населений  (неопр.). Астронет. Дата обращения: 9 июня 2021. Архивировано 23 февраля 2013 года.
3. Звездная астрономия в лекциях. Глоссарий  (неопр.). Астронет. Дата обращения: 9 июня 2021. Архивировано 9 июня 2021 года.
4. Сурдин В. Г. Звездная величина  (неопр.). Глоссарий Астронет. Дата обращения: 29 декабря 2022. Архивировано 28 ноября 2010 года.
5. Karttunen et al., 2016, p. 328.

Литература

• Karttunen H., Kroger P., Oja H., Poutanen M., Donner K. J. Fundamental Astronomy (англ.). — 6th Edition. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 2016. — 550 p. — ISBN 978-3-662-53045-0.