Теорема Громова о числах Бетти

Теорема Громова о числах Бетти даёт верхнюю оценку на сумму чисел Бетти компактного риманова многообразия через нижнюю грань его секционных кривизн, размерность и диаметр.

Комментарии

• В частности, сумма чисел Бетти компактного риманова многообразия размерности ${\displaystyle n}$ с неотрицательной секционной кривизной ограничено константой ${\displaystyle C(n)}$.
  • Предположительно ${\displaystyle C(n)=2^{n}}$, то есть плоский ${\displaystyle n}$-мерный тор имеет максимальную сумму чисел Бетти среди всех ${\displaystyle n}$-мерных многообразий неотрицательной секционной кривизны.
  • Известны явные оценки, например ${\displaystyle C(n)=10^{3n^{4}+9n^{3}+6n^{2}}}$.
• Теорема даёт оценку на эйлерову характеристику ${\displaystyle n}$-мерного многообразия неотрицательной секционной кривизны.
  • Предположительно все такие многообразия имеют неотрицательную эйлерову характеристику.

Литература

• Gromov, Michael. Curvature, diameter and Betti numbers. (англ.) // Comment. Math. Helv. — 1981. — Vol. 56, no. 2. — P. 179–195.