Теорема Боголюбова «об острие клина»

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены[1] Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США (сентябрь 1956 года) и также опубликованы в монографии[2] (дополнение А, теорема 1). Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками[3]. Важными применениями теоремы об «острие клина» являются: доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля, аксиоматическая квантовая теория поля, теория обобщённых функций, обобщение теоремы Лиувилля[3].

Одномерный случай

Для функций одной комплексной переменной теорема «об острие клина» может быть сформулирована следующим образом.

• Теорема: Пусть f есть непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости, голоморфная в верхней и нижней полуплоскостях. Тогда она голоморфна на всей комплексной плоскости.

В этом примере клиньями являются верхняя и нижняя полуплоскости, а их общим острием — вещественная ось. Данная теорема может быть доказана с использованием теоремы Мореры.

Общий случай

В общем случае клином называется произведение конуса и открытого множества.

Пусть C — открытый конус с вершиной в нуле в вещественном пространстве R^n. Пусть E — открытое множество в R^n (острие). Определим клинья ${\displaystyle W=E\times iC}$ и ${\displaystyle W'=E\times -iC}$ в комплексном пространстве C^n. Клинья ${\displaystyle W}$ и W' имеют общее острие E, где мы отождествляем E с произведением E и вершины конуса.

• Теорема Боголюбова «об острие клина»: Пусть f — непрерывная функция на объединении ${\displaystyle W\cup E\cup W'}$, голоморфная на обоих клиньях ${\displaystyle W}$ и W' . Тогда f также голоморфна на E (более точно, может быть аналитически продолжена на некоторую окрестность E).

Условия теоремы могут быть ослаблены. Во-первых, не обязательно задавать f целиком на клиньях, достаточно определить f в некоторой окрестности острия. Во-вторых, не обязательно предполагать, что f определена или непрерывна на острие, достаточно предположить, что равны обобщённые функции, заданные пределами f из двух клиньев на острие.

Применение в квантовой теории поля

В квантовой теории поля распределения Вайтмана есть граничные значения функций Вайтмана ${\displaystyle W(z_{1},\dots ,z_{n})}$, зависящих от переменных ${\displaystyle z_{i}}$ комплексификации пространства Минковского. Они определены и голоморфны на клине, в котором мнимая часть каждого ${\displaystyle z_{i}-z_{i-1}}$ лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Перестановки переменных дают ${\displaystyle n!}$ различных функций Вайтмана, определённых на ${\displaystyle n!}$ различных клиньев. Острием является множество пространственно-подобных точек. Из теоремы Боголюбова «об острие клина» следует, что все они являются аналитическими продолжениями одной голоморфной функции, заданной на связной области, содержащей все ${\displaystyle n!}$ клиньев. При этом равенство граничных значений на острие следует из аксиомы локальности в квантовой теории поля.

См. также

Применение теоремы «об острие клина» в квантовой теории поля:

1. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.
2. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — 2-е изд. М.: Физматлит, 2006. ISBN 5922106120.
3. Стритер Р., Вайтман А. С. РСТ, спин и статистика и всё такое. 1966.

Примечания

1. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных (рус.). — Москва: Наука, 1964. — С. 294—311.
2. Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений (неопр.). — Москва: Физматгиз, 1958.
3. Владимиров В. С. Теорема об «острие клина» Боголюбова, её развитие и применения // Проблемы теоретической физики. Сборник, посвящённый Николаю Николаевичу Боголюбову в связи с его шестидесятилетием. - М., Наука, 1969. - Тираж 4000 экз. - c. 61-67