Теорема Бернштейна о седловом графике

Теорема Бернштейна о седловом графике — классическая теорема о седловых поверхностях. Доказана Сергеем Натановичем Бернштейном.[1]

Формулировка

Предположим график гладкой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ является строго седловой поверхностью. Тогда функция ${\displaystyle f}$ неограничена; то есть не существует константы ${\displaystyle C}$ такой, что ${\displaystyle f(x,y)\leq C}$ для любой ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$.

Замечания

• Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения.

• Существуют также седловые графики лежащие в верхнем полупространстве ${\displaystyle z>0}$; таков например график ${\displaystyle z=\exp(x-y^{2})}$.

Вариации и обобщения

• Если график гладкой ограниченной функции является нестрого седловым, то график является линейчатой поверхностью с параллельными образующими.

Примечания

1. Bernstein, S.N. (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Math. Kharkov, 15: 38—45 German translation in Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (нем.), 26, Springer Berlin / Heidelberg: 551—558, doi:10.1007/BF01475472, ISSN 0025-5874 Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.