Тело сечений

Тело сечений — конструкция, дающая тело для данного тела евклидова пространства.

Определение было дано Лютваком в 1988 году. Эта конструкция сыграла заметную роль в решении задачи Буземана — Петти.

Определение

Предположим, что ${\displaystyle K}$ — выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве. Тогда тело сечений для тела ${\displaystyle K}$ есть тело, ограниченное гиперповерхностью, образованной всеми векторами вида

${\displaystyle \mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,}$

где ${\displaystyle u}$ — единичный вектор, ${\displaystyle u^{\perp }}$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная ${\displaystyle u}$, а ${\displaystyle \mathop {S} }$ — площадь, точнее ${\displaystyle (d-1)}$-мерный объём.

Свойства

• Теорема Буземана. Пусть ${\displaystyle K}$ есть выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат. Тогда тело сечений ${\displaystyle K}$ также выпукло.

Литература

• Lutwak, Erwin (1988), "Intersection bodies and dual mixed volumes", Advances in Mathematics, 71 (2): 232—261, doi:10.1016/0001-8708(88)90077-1, ISSN 0001-8708, MR 0963487