Статистика (функция выборки)

Эта статья — о статистике в узком смысле, классе функций, используемых в математической статистике. О других значениях термина см. Статистика (значения).

Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.

Определение

Пусть задана случайная выборка ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ наблюдений ${\displaystyle x_{i}\in X}$. Как правило, поскольку речь идёт о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки ${\displaystyle T:X^{m}\to \mathbb {R} }$, которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, то есть определены вероятности её попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.

Пример

Предположим, что имеется числовая выборка ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$, элементы которой имеют нормальное распределение ${\displaystyle {\mathcal {N}}(a,\sigma )}$. Допустим, что значение параметра ${\displaystyle a}$ (математического ожидания) известно, то есть это некоторое конкретное число, а значение среднеквадратичного отклонения ${\displaystyle \sigma }$ неизвестно (и его требуется оценить). Для этого может быть использована следующая статистика:

${\displaystyle T={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}(x_{i}-a)^{2}.}$

Однако если значение параметра ${\displaystyle a}$ также неизвестно, то данная функция не является статистикой. В этом случае её по-прежнему можно исследовать теоретически (например, доказывать, что математическое ожидание ${\displaystyle T}$ равно ${\displaystyle \sigma ^{2}}$), однако вычислить её числовое значение нельзя, поэтому для получения непосредственных статистических выводов она не может быть использована. В этом случае оценка параметра ${\displaystyle \sigma }$ строится другим способом (см. ниже).

Ниже приведены примеры некоторых часто используемых статистик. Все они предполагают, что наблюдения ${\displaystyle x_{i}}$ являются числовыми, ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$.

В последние годы активно развивается также статистика объектов нечисловой природы.

Статистики, используемые для оценки моментов (выборочные моменты)

• Выборочное среднее:

  ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}.}$

• Выборочная дисперсия:

  ${\displaystyle s^{2}=s_{m}^{2}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}$.

• Несмещённая оценка дисперсии:

  ${\displaystyle s^{2}=s_{m}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.}$

• Выборочный момент ${\displaystyle k}$-го порядка (выборочное среднее — момент первого порядка):

  ${\displaystyle M_{k}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}}$.

• Выборочный центральный момент ${\displaystyle k}$-го порядка (выборочная дисперсия — центральный момент второго порядка):

  ${\displaystyle {\overset {\circ }{M}}_{k}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{k}}$.

• Несмещённые оценки центральных моментов:

  ${\displaystyle {\overset {\bullet }{M}}_{2}={\frac {m}{m-1}}{\overset {\circ }{M}}_{2}}$;

  ${\displaystyle {\overset {\bullet }{M}}_{3}={\frac {m^{2}}{(m-1)(m-2)}}{\overset {\circ }{M}}_{3}}$;

  ${\displaystyle {\overset {\bullet }{M}}_{4}={\frac {m(m^{2}-2m+3){\overset {\circ }{M}}_{4}+3m(2m-3){\overset {\circ }{M}}_{2}^{2}}{(m-1)(m-2)(m-3)}}}$.

Выборочный коэффициент асимметрии

Выборочный коэффициент асимметрии:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {{\overset {\bullet }{M}}_{3}}{{\overset {\bullet }{M}}_{2}^{3/2}}}={\frac {\sqrt {m(m-1)}}{m-2}}\left({\frac {{\overset {\circ }{M}}_{3}}{{\overset {\circ }{M}}_{2}^{3/2}}}\right)}$.

Если плотность распределения симметрична, то ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$. Если левый хвост распределения «тяжелее», то ${\displaystyle \gamma _{1}>0}$, если «тяжелее» правый хвост — то ${\displaystyle \gamma _{1}<0}$.

Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Выборочный коэффициент эксцесса

Выборочный коэффициент эксцесса:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\overset {\bullet }{M}}_{4}}{{\overset {\bullet }{M}}_{2}^{2}}}-3={\frac {m^{2}-1}{(m-2)(m-3)}}\left({\frac {{\overset {\circ }{M}}_{4}}{{\overset {\circ }{M}}_{2}^{2}}}-3+{\frac {6}{m+1}}\right)}$.

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс: ${\displaystyle \gamma _{2}=0}$.

Если хвосты распределения «легче», а пик «острее», чем у нормального распределения, то ${\displaystyle \gamma _{2}>0}$.

Если хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$.

Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Статистики, связанные с эмпирическим распределением

Эмпирическое распределение случайной величины ${\displaystyle x}$, построенное по случайной выборке ${\displaystyle x^{m}}$, есть функция:

${\displaystyle \displaystyle F_{m}(x)={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left[x_{i}<x\right]}$.

При любом фиксированном ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ значение ${\displaystyle F_{m}(a)}$ можно рассматривать как статистику.

Порядковые статистики

Основная статья: Порядковая статистика

Порядковые статистики основаны на вычислении вариационного ряда, который получается из исходной выборки ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ путём упорядочивания её элементов по возрастанию:

${\displaystyle x^{(1)}\leqslant x^{(2)}\leqslant \cdots \leqslant x^{(m)}}$.

Значение ${\displaystyle x^{(k)}}$ называется ${\displaystyle k}$-й порядковой статистикой.

• Выборочный ${\displaystyle \lambda }$-квантиль при ${\displaystyle 0<\lambda <1}$:

  ${\displaystyle x^{(m\lambda +1)}.}$

• Размах выборки:

  ${\displaystyle \Delta =x^{(m)}-x^{(1)}}$.

• Выборочная медиана:

  ${\displaystyle \mu ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(x^{(k)}+x^{(k+1)}\right),&m=2k;\\x^{(k+1)},&m=2k+1\end{cases}}}$.

Ранговые статистики

Основная статья: Ранговая статистика

Значение ${\displaystyle r_{i}}$ называется рангом элемента выборки ${\displaystyle x_{i}}$, если ${\displaystyle x_{i}=x^{(r_{i})}}$.

Ранговой статистикой называется любая статистика, которая является функцией от рангов элементов ${\displaystyle r_{i}}$, а не от их значений ${\displaystyle x_{i}}$. Переход от значений к их рангам позволяет строить непараметрические статистические критерии, которые не опираются на априорные предположения о функции распределения выборки. Они имеют гораздо более широкую область применения, чем параметрические статистические критерии.

Средний ранг

Аналогом выборочного среднего является средний ранг:

${\displaystyle R={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}r_{i}.}$

Линейные ранговые статистики

Многие используемые на практике ранговые статистики принадлежат семейству линейных ранговых статистик, либо асимптотически приближаются к линейным при ${\displaystyle m\to \infty }$. Линейная ранговая статистика в общем случае имеет вид:

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{m}a(i,r_{i})}$,

где ${\displaystyle a(i,j)}$ — произвольная заданная числовая матрица размера ${\displaystyle m\times m}$.

Литература

• Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
• Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009. Вып. 14: Лекции по асимптотической теории ранговых критериев / Чибисов Д. М. – 176 с.
• Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –3-е изд. перераб. и доп.- М.: Радио и связь, 1989. – 656с.: ил. ISBN 5-256-00264-3

Ссылки

• Статистика: функция выборки