Сортировка Шелла

Сортировка Шелла
Сортировка с шагами 23, 10, 4, 1.
Автор	Дональд Шелл[1]
Предназначение	Алгоритм сортировки
Структура данных	Массив
Худшее время	${\displaystyle O(n^{2})}$
Лучшее время	${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$
Среднее время	зависит от выбранных шагов
Затраты памяти	${\displaystyle O(n)}$ всего, ${\displaystyle O(1)}$ дополнительно

Сортировка Шелла на примере

Сортировка Шелла (англ. Shell sort) — алгоритм сортировки, являющийся усовершенствованным вариантом сортировки вставками. Идея метода Шелла состоит в сравнении элементов, стоящих не только рядом, но и на определённом расстоянии друг от друга. Иными словами — это сортировка вставками с предварительными «грубыми» проходами. Аналогичный метод усовершенствования пузырьковой сортировки называется сортировка расчёской.

Описание

При сортировке Шелла сначала сравниваются и сортируются между собой значения, стоящие один от другого на некотором расстоянии ${\displaystyle d}$ (о выборе значения ${\displaystyle d}$ см. ниже). После этого процедура повторяется для некоторых меньших значений ${\displaystyle d}$, а завершается сортировка Шелла упорядочиванием элементов при ${\displaystyle d=1}$ (то есть обычной сортировкой вставками). Эффективность сортировки Шелла в определённых случаях обеспечивается тем, что элементы «быстрее» встают на свои места (в простых методах сортировки, например, пузырьковой, каждая перестановка двух элементов уменьшает количество инверсий в списке максимум на 1, а при сортировке Шелла это число может быть больше).

Невзирая на то, что сортировка Шелла во многих случаях медленнее, чем быстрая сортировка, она имеет ряд преимуществ:

• отсутствие потребности в памяти под стек;
• отсутствие деградации при неудачных наборах данных — быстрая сортировка легко деградирует до ${\displaystyle O(n^{2})}$, что хуже, чем худшее гарантированное время для сортировки Шелла.

История

Сортировка Шелла была названа в честь её изобретателя — Дональда Шелла, который опубликовал этот алгоритм в 1959 году.

Пример

Иллюстрация сортировки Шелла.

Пусть дан список ${\displaystyle A=(32,95,16,82,24,66,35,19,75,54,40,43,93,68)}$ и выполняется его сортировка методом Шелла, а в качестве значений ${\displaystyle d}$ выбраны ${\displaystyle 5,3,1}$.

На первом шаге сортируются подсписки ${\displaystyle A}$, составленные из всех элементов ${\displaystyle A}$, различающихся на 5 позиций, то есть подсписки ${\displaystyle A_{5,1}=(32,66,40)}$, ${\displaystyle A_{5,2}=(95,35,43)}$, ${\displaystyle A_{5,3}=(16,19,93)}$, ${\displaystyle A_{5,4}=(82,75,68)}$, .${\displaystyle A_{5,5}=(24,54)}$

В полученном списке на втором шаге вновь сортируются подсписки из отстоящих на 3 позиции элементов.

Процесс завершается обычной сортировкой вставками получившегося списка.

Выбор длины промежутков

Среднее время работы алгоритма зависит от длин промежутков — ${\displaystyle d}$, на которых будут находиться сортируемые элементы исходного массива ёмкостью ${\displaystyle N}$ на каждом шаге алгоритма. Существует несколько подходов к выбору этих значений:

• первоначально используемая Шеллом последовательность длин промежутков: ${\displaystyle d_{1}=N/2,d_{i}=d_{i-1}/2,d_{k}=1}$ в худшем случае, сложность алгоритма составит ${\displaystyle O(N^{2})}$;
• предложенная Хиббардом последовательность: все значения ${\displaystyle 2^{i}-1\leq N,i\in \mathbb {N} }$; такая последовательность шагов приводит к алгоритму сложностью ${\displaystyle O(N^{3/2})}$;
• предложенная Седжвиком последовательность: ${\displaystyle d_{i}=9\cdot 2^{i}-9\cdot 2^{i/2}+1}$, если i четное и ${\displaystyle d_{i}=8\cdot 2^{i}-6\cdot 2^{(i+1)/2}+1}$, если i нечетное. При использовании таких приращений средняя сложность алгоритма составляет: ${\displaystyle O(n^{7/6})}$, а в худшем случае порядка ${\displaystyle O(n^{4/3})}$. При использовании формулы Седжвика следует остановиться на значении inc[s-1], если 3*inc[s] > size.[2];
• предложенная Праттом последовательность: все значения ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\leq N/2,i,j\in \mathbb {N} }$; в таком случае сложность алгоритма составляет ${\displaystyle O(N\log ^{2}N)}$;
• эмпирическая последовательность Марцина Циура (последовательность A102549 в OEIS): ${\displaystyle d\in \left\{1,4,10,23,57,132,301,701,1750\right\}}$; является одной из лучших для сортировки массива ёмкостью приблизительно до 4000 элементов.[3];
• эмпирическая последовательность, основанная на числах Фибоначчи: ${\displaystyle d\in \left\{F_{n}\right\}}$.

Реализация на языках программирования

С++

template<typename RandomAccessIterator, typename Compare>
void shell_sort( RandomAccessIterator first, RandomAccessIterator last, Compare comp )
{
    for( auto d = ( last - first ) / 2; d != 0; d /= 2 )
        for( auto i = first + d; i != last; ++i )
            for( auto j = i; j - first >= d && comp( *j, *( j - d ) ); j -= d )
                std::swap( *j, *( j - d ) );
}

Си

void shell_sort(int *array, int size) {
    for (int s = size / 2; s > 0; s /= 2) {
        for (int i = s; i < size; ++i) {
            for (int j = i - s; j >= 0 && array[j] > array[j + s]; j -= s) {
                int temp = array[j];
                array[j] = array[j + s];
                array[j + s] = temp;
            }
        }
    }
}

Java

void shell_sort(List<Integer> array) {
        for (int s = array.size() / 2; s > 0; s /= 2)
            for (int i = s; i < array.size(); ++i)
                for (int j = i - s; j >= 0 && array.get(j) > array.get(j + s); j -= s) Collections.swap(array, j, j + s);
}

Python

def shell_sort(data: list[int]) -> list[int]:
    last_index = len(data)
    step = len(data)//2
    while step > 0:
        for i in range(step, last_index, 1):
            j = i
            delta = j - step
            while delta >= 0 and data[delta] > data[j]:
                data[delta], data[j] = data[j], data[delta]
                j = delta
                delta = j - step
        step //= 2
    return data

Примечания

1. Shell D. L. A high-speed sorting procedure (англ.) // Communications of the ACM — New York City: Association for Computing Machinery, 1959. — Vol. 2, Iss. 7. — P. 30—32. — ISSN 0001-0782; 1557-7317 — doi:10.1145/368370.368387
2. J. Incerpi, R. Sedgewick, «Improved Upper Bounds for Shellsort», J. Computer and System Sciences 31, 2, 1985.
3. Marcin Ciura Best Increments for the Average Case of Shellsort  (неопр.). Дата обращения: 15 сентября 2009. Архивировано 30 августа 2011 года.

Ссылки

• Дональд Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск, 2-е изд. Гл. 5.2.1. ISBN 5-8459-0082-4
• Анимированное представление алгоритма сортировки Шелла
• Представление алгоритма сортировки Шелла в виде танца (видео)