Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.

На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.

Определение

Пусть ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{n}}$ есть гиперплоскость и ${\displaystyle \Phi }$ — данная фигура в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Введём ортогональную систему координат, в которой ${\displaystyle H}$ описывается уравнением ${\displaystyle x_{n}=0}$. Для каждой точки ${\displaystyle x\in H}$ пусть ${\displaystyle \ell _{x}}$ обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к ${\displaystyle H}$ через ${\displaystyle x}$, с множеством ${\displaystyle \Phi }$. Далее проведём через ${\displaystyle x}$ отрезок длины ${\displaystyle \ell _{x}}$ с серединой в ${\displaystyle x}$, перпендикулярный к ${\displaystyle H}$. Объединение ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ таких отрезков есть симметризация Штайнера ${\displaystyle \Phi }$ относительно ${\displaystyle H}$.

Свойства

Случай равенства периметров в симметризации Штайнера

• Объём ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ совпадает с объёмом ${\displaystyle \Phi }$.

• Площадь поверхности ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ не превосходит площади поверхности ${\displaystyle \Phi }$.
  • Если ${\displaystyle \Phi }$ выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ и ${\displaystyle \Phi }$ достигается только в случае, если ${\displaystyle \Phi }$ зеркально симметрична относительно гиперплоскости, параллельной плоскости симметризации.
  • В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных ${\displaystyle \Phi }$, например, равенство достигается для плоских фигур, составленных из двух прямоугольников с основаниями, параллельными прямой симметризации.

• Если ${\displaystyle \Phi }$ выпукла, то же верно и для ${\displaystyle \Phi ^{*}}$.

• Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть

  ${\displaystyle d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),}$

где ${\displaystyle \Phi }$ и ${\displaystyle \Psi }$ — произвольные фигуры, ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ и ${\displaystyle \Psi ^{*}}$ — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а ${\displaystyle d_{H}}$ — метрика Хаусдорфа.

• Если ${\displaystyle \Phi \subset \Psi }$, то ${\displaystyle \Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}}$.

Вариации и обобщения

Круговая симметризация

• Симметризация Пойа (круговая).
• Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.

Литература

• Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.