Род многообразия

Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо, обычно кольцо рациональных чисел.

Определение

Род φ выбирает элемент φ(X) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

1. φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (где ∪ — несвязное объединение)
2. φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
3. φ(X) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ и кольцо модулярных форм.

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядов

Последовательность многочленов K₁, K₂,... от переменных р₁,р₂,... называется мультипликативной^[англ.], если из

${\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )}$

следует

${\displaystyle \sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_{2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.}$

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2})+\ldots }$

как

${\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,}$

где p_k — это k-я элементарная симметрическая функция с неизвестными ${\displaystyle z_{i}}$.

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q, определяется как

${\displaystyle \Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )}$

где p_k есть k-й класс Понтрягина многообразия X. При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ. 

Примеры

L-род и сигнатура

L-род определяется характеристическим рядом

${\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^{k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\ldots }$

где ${\displaystyle B_{2k}}$ — числа Бернулли. Первые несколько значений:

• ${\displaystyle L_{0}=1}$
• ${\displaystyle L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}}$
• ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$
• ${\displaystyle L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})}$
• ${\displaystyle L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2}p_{2}-3p_{1}^{4})}$[1][2]

Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4n с классами Понтрягина ${\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)}$, то значение L-рода на фундаментальном классе ${\displaystyle [M]}$ равно сигнатуре  ${\displaystyle \sigma (M)}$, то есть

${\displaystyle \sigma (M)=L_{n}([M])}$.

Тот факт, что L₂ всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры. 

Â-род

Â-род определяется характеристическим рядом

${\displaystyle Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/5760-\ldots .}$

 Первые несколько значений

• ${\displaystyle {\hat {A}}_{0}=1}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})}$
• ${\displaystyle {\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}-904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})}$

Свойства

• Â-род спинорного многообразия есть целое число,
  • Â-род спинорного многообразия размерности ${\displaystyle 4{\pmod {8}}}$ — чётное целое число.  
• Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака.
• Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, то его Â-род равен нулю.

См. также

• Теорема Атьи — Зингера об индексе

Примечания

1. McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials" Архивная копия от 5 марта 2016 на Wayback Machine.
2. последовательность A237111 в OEIS.

Ссылки

• Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN 3-540-58663-6
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN 3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Characteristic classes, ISBN 0-691-08122-0
• A.F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin class" (недоступная ссылка), in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Elliptic genera" (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4