Мать Владимира Ремека была чешкой по национальности, отец, генерал авиации — словаком. Окончив в 1963 году девятилетнюю школу в моравском городе Брно, продолжил учёбу в физико-математическом классе средней школы в городе Чаславе, которую окончил с отличием в 1966 году.
С 1972 года обучался в Военно-воздушной академии им. Ю. А. Гагарина в Москве. После окончания академии в сентябре 1975 г. вернулся в военно-воздушные силы Чехословакии, но уже в декабре 1976 года Ремека отобрали в группу космонавтов (включавшую также лётчиков из ГДР и Польши) по программе «Интеркосмос», в рамках которой СССР сотрудничал с другими государствами. В течение года Ремек прошёл ускоренный курс подготовки к полёту на космическом корабле типа «Союз» и орбитальной станции «Салют».
Со 2 по 10 марта1978 года Владимир Ремек в качестве космонавта-исследователя совершил космический полёт на космическом корабле «Союз-28», пилотируемом полковником Алексеем Александровичем Губаревым. В ходе полёта корабль «Союз-28» состыковался с орбитальной космической станцией «Салют-6», Ремек и Губарев совместно с экипажем станции Юрием Викторовичем Романенко и Георгием Михайловичем Гречко провели ряд совместных технологических и медико-биологических экспериментов, предложенных советскими и чехословацкими учёными. Ремек провёл в космосе 7 суток 22 часа 16 минут и 30 секунд. Будучи 87-м по счёту космонавтом Земли, он стал первым космонавтом, не являющимся гражданином ни одной из сверхдержав. До полета Б. Фаркаша был самым молодым (по дате рождения) из летавших в космос.
В 1979—1985 годах Ремек работал заместителем начальника одного из пражских научно-исследовательских институтов, позже работал в Главном политическом управлении ЧНА и преподавал в Военной академии Генштаба СССР. С 1990 по 1995 год был директором музея авиации и космонавтики в Праге, затем был занят на совместных российско-чешских предприятиях в Нижнем Новгороде и Москве. В 2002—2004 годах работал торговым представителем посольства Чешской Республики в Москве.
В ноябре 2013 года назначен послом Чехии в Российской Федерации[4]. 16 января 2014 года приступил к исполнению обязанностей посла с момента вручения Президенту РФ верительной грамоты[5]. Был послом в России до 31 января 2018 года.
Дважды женат (1-я жена — Хана Давидова, дочь бывшего министра иностранных дел Чехословакии Вацлава Давида; 2-я — Яна Ремкова) и имеет двух детей (Анну Броушкову и Яну Ремкову), а также двух сестёр. Владеет русским языком.