Свою карьеру начал в родном Хернинге. Там Регин выступал за местную команду. В 2005 году хоккеист уехал в Швецию. Три сезона хоккеист провел в «Тимро». Затем Регин уехал в Америку. С 2008 году он является игроком команды «Оттава Сенаторз». После сезона 2011/2012 клуб продлил контракт с Региным сроком на 1 год[2].
Постоянно вызывается в национальную сборную Дании. На период локаута в НХЛ выступал за швейцарский клуб «Лангенталь».
В мае 2015 года нападающий подписал двухлетний контракт с клубом КХЛ «Йокерит»[3]. Выступал за «Йокерит» до 2021 года. Всего сыграл за «Йокерит» в КХЛ 294 матча и набрал 191 очко (68+123) при показателе полезности +42. В плей-офф набрал 17 очков (5+12) в 36 матчах. Последнюю игру за «Йокерит» провёл 7 марта 2021 года.
В сезоне 2021/22 играл за швейцарский клуб «Амбри-Пиотта», в 41 матче набрал 23 очка (3+20). В сезоне 2022/23 играл за немецкий клуб «Айсберен Берлин», в 42 матчах набрал 8 очков (3+5). После сезона 2022/23 завершил карьеру.