Растянутый многоугольник серединных точек

Вписанный многоугольник (зелёный), его серединный многоугольник (красный) и его растянутый многоугольник серединных точек (розовый)

Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника P — это другой вписанный в ту же самую окружность многоугольник, вершины которого являются серединами дуг между вершинами многоугольника P[1]. Многоугольник может быть получен из серединного многоугольника (многоугольника, вершины которого лежат в серединах сторон), если провести радиусы из центра окружности через вершины серединного многоугольника.

Приложение в музыке

Растянутый многоугольник серединных точек называется также тенью многоугольника P. Если окружность используется для описания повторяющихся временных рядов, а вершины многоугольника представляют барабанный ритм, тень представляет моменты времени, когда руки барабанщика находятся в верхних точках и имеют бо́льшую ритмическую равномерность, чем исходный ритм[2].

Сходимость к правильному многоугольнику

Растянутый многоугольник серединных точек правильного многоугольника является правильным и повторение операции построения для произвольного начального многоугольника образует последовательность многоугольников, сходящихся к правильному многоугольнику[1][2].

Примечания

  1. ↑ 1 2 Ding, Hitt, Zhang, 2003, с. 255–270.
  2. ↑ 1 2 Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008.

Литература

  • Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov chains and dynamic geometry of polygons // Linear Algebra and its Applications. — 2003. — Т. 367. — doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1.
  • Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. Proceedings of the 2008 C3S2E conference. — 2008. — doi:10.1145/1370256.1370275.
  • Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. . — 2008.