Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

${\displaystyle \left(\infty -\infty \right)}$

${\displaystyle \left({\frac {\infty }{\infty }}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$

${\displaystyle \left(0\cdot \infty \right)}$

${\displaystyle \left(0^{0}\right)}$

${\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)}$

${\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}$

(Здесь ${\textstyle 0}$ — бесконечно малая величина, ${\displaystyle \infty }$ — бесконечно большая величина, 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов ${\displaystyle \left(~0^{0}\right)}$, ${\displaystyle \left(1^{\infty }\right)}$, ${\displaystyle \left(\infty ^{0}\right)}$ пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

${\displaystyle \left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)}$

${\displaystyle \left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)}$

${\displaystyle \left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)}$

Для раскрытия неопределённостей типа ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$ используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа ${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$ существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа ${\displaystyle (\infty -\infty )}$ иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть ${\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty }$ и ${\displaystyle g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty }$;

${\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)}$.

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Пример

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0}$ — пример[1] неопределённости вида ${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$. По правилу Лопиталя ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)}$. Второй способ — прибавить и отнять в числителе ${\displaystyle a^{a}}$ и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям ${\displaystyle a^{x}}$ и ${\displaystyle x^{a}}$ соответственно:

${\displaystyle {\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={\frac {a^{c}\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}\ln a-ad^{a-1}}$

здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.

Примечания

1. Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 136.