↑ Количество игр и голов за профессиональный клуб считается только для различных лиг национальных чемпионатов, обновлено по состоянию на 28 декабря 2019 года.
↑ Количество игр и голов за национальную сборную в официальных матчах.
Пуч — воспитанник клубов «Депортес Икике» и «Уачипато». Профессиональную карьеру он начал выступая за эти команды в обратной последовательности, но особого успеха не добился. В 2009 году Эдсон перешёл в «Универсидад де Чили». 23 июля в матче против «Палестино» он дебютировал за новую команду[1]. 2 августа в поединке против «Унион Эспаньола» Пуч забил свой первый гол за «Универсидад»[2]. В 2011 году Эдсон помог клубу выиграть чилийскую Примеру.
В начале 2012 года Пуч на правах аренды вернулся в родной «Депортес Икике». Отыграв два сезона на родине Эдсон вернулся в ОАЭ, но сыграв десять матчей покинул команду. В начале 2015 года он подписал соглашение с аргентинской командой «Уракан». 6 марта в поединке против «Химнасии Ла-Плата» Пуч дебютировал в аргентинской Примере[5].
Летом, после успешного выступления на Кубке Америки Эдсон перешёл в мексиканскую «Некаксу». 17 июля в матч против «Крус Асуль» он дебютировал в мексиканской Примере, заменив во втором тайме Хесуса Исихару[8]. 7 августа в поединке против УНАМ Пумас Пуч забил свой первый гол за «Некаксу»[9]. Летом 2017 года Эдсон перешёл в «Пачуку». 23 июля в матче против УНАМ Пумас он дебютировал за новую команду[10]. 6 августа в поединке против Лобос БУАП Пуч забил свой первый гол за «Пачуку»[11].