Прямое произведение групп

Прямое произведение групп — операция, которая по группам ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ строит новую группу, обычно обозначающуюся как ${\displaystyle G\times H}$. Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают ${\displaystyle G\oplus H}$. Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно теореме о структуре конечнопорождённых абелевых групп, любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических групп.

Определение

Если ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ — группы с операциями ${\displaystyle *}$ и ${\displaystyle \triangle }$ соответственно, то прямое произведение ${\displaystyle G\times H}$ определяется следующим образом:

1. Множеством является декартово произведение, ${\displaystyle G\times H}$. Его элементами являются упорядоченные пары ${\displaystyle (g,h)}$, где ${\displaystyle g\in G}$ и ${\displaystyle h\in H}$.
2. Бинарная операция ${\displaystyle \cdot }$ на ${\displaystyle G\times H}$ определяется покомпонентно:

   ${\displaystyle (g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\triangle h_{2})}$

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы:

Ассоциативность бинарной операции

Бинарная операция на ${\displaystyle G\times H}$ ассоциативна, что проверяется покомпонентно.

Существование единичного элемента

Прямое произведение имеет единичный элемент ${\displaystyle 1_{G\times H}=(1_{G},1_{H})}$, где ${\displaystyle 1_{G}}$ — единичный элемент ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle 1_{H}}$ — единичный элемент ${\displaystyle H}$.

Существование обратного элемента

Обратный элемент к элементу ${\displaystyle (g,h)}$ в ${\displaystyle G\times H}$ — это пара ${\displaystyle (g^{-1},h^{-1})}$, где ${\displaystyle g^{-1}}$ является обратным к ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle h^{-1}}$ — обратным к ${\displaystyle h}$ в ${\displaystyle H}$.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — группа вещественных чисел с операцией сложения. Тогда прямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ — группа всех двухкомпонентных векторов ${\displaystyle (x,y)}$ с операцией сложения векторов:

  ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$.

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R^{+}} }$ — группа положительных вещественных чисел с операцией умножения. Тогда прямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R^{+}} \times \mathbb {R^{+}} }$ — это группа всех векторов в первой координатной четверти с операцией покомпонентного умножения:

  ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=(x_{1}\times x_{2},y_{1}\times y_{2})}$.

• Пусть ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ — циклические группы, каждая из которых содержит два элемента:

• ${\displaystyle G}$

  *	1	a
  1	1	a
  a	a	1

• ${\displaystyle H}$

  *	1	b
  1	1	b
  b	b	1

Тогда прямое произведение ${\displaystyle G\times H}$ изоморфно четверной группе Клейна:

${\displaystyle G\times H}$

*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Элементарные свойства

• Порядок прямого произведения ${\displaystyle G\times H}$ конечных групп равен произведению порядков этих групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$:

  ${\displaystyle |G\times H|=|G||H|}$.

  Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
• Порядок каждого элемента ${\displaystyle (g,h)}$ является наименьшим общим кратным порядков ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$[1]:

  ${\displaystyle \operatorname {ord} ((g,h))=lcm(\operatorname {ord} (g),\operatorname {ord} (h))}$.

  В частности, если ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)}$ и ${\displaystyle \operatorname {ord} (h)}$ являются взаимно простыми, то порядок ${\displaystyle (g,h)}$ равен произведению порядков ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$.
• Как следствие, если ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ — циклические группы, порядки которых являются взаимно простыми числами, то прямое произведение ${\displaystyle G\times H}$ также является циклической группой. А именно, если ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ взаимно просты, то

  ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} }$.

  Этот факт является вариантом китайской теоремой об остатках.
• Прямое произведение можно рассмотреть как операцию на группах. Эта операция коммутативна и ассоциативна с точностью до изоморфизма: ${\displaystyle G\times H\cong H\times G}$ и ${\displaystyle (G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)}$ для любых групп ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, и ${\displaystyle K}$. Тривиальная группа является её единичным элементом с точностью до изоморфизма, то есть, если ${\displaystyle E}$ — тривиальная группа, то ${\displaystyle G\cong G\times E\cong E\times G}$ для любой группы ${\displaystyle G}$.

Алгебраическая структура

Пусть ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ — группы, а ${\displaystyle P=G\times H}$. Рассмотрим следующие два подмножества ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\}}$ и ${\displaystyle H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\}}$.

Оба эти подмножества являются подгруппами ${\displaystyle P}$, при этом ${\displaystyle G^{\prime }}$ канонически изоморфна ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle H^{\prime }}$ канонически изоморфна ${\displaystyle H}$. Если мы отождествим их с ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ соответственно, то мы сможем считать, что прямое произведение ${\displaystyle P}$ содержит исходные группы ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ в качестве подгрупп.

Указанные подгруппы обладают следующими тремя важными свойствами:

1. Пересечение ${\displaystyle G\cap H}$ тривиально.
2. Каждый элемент из ${\displaystyle P}$ можно однозначно представить как произведение элемента из ${\displaystyle G}$ и элемента из ${\displaystyle H}$.
3. Каждый элемент из ${\displaystyle G}$ коммутирует с каждым элементом из ${\displaystyle H}$.

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения ${\displaystyle P}$. Иными словами, если ${\displaystyle P}$ — любая группа, имеющая подгруппы ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$, удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, то ${\displaystyle P}$ изоморфна прямому произведению ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$. В этой ситуации ${\displaystyle P}$ иногда называют внутренним прямым произведением её подгрупп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$.

В некоторых случаях третье из приведённых свойств заменяется следующим:

3′. ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ нормальны в ${\displaystyle P}$.

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, что можно доказать, рассматривая коммутатор ${\displaystyle [g,h]}$, где ${\displaystyle g}$ — любой элемент в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle h}$ — любой элемент в ${\displaystyle H}$.

Примеры внутреннего прямого произведения

• Пусть ${\displaystyle V}$ — четверная группа Клейна:

  V

  ∙	1	a	b	c
  1	1	a	b	c
  a	a	1	c	b
  b	b	c	1	a
  c	c	b	a	1

  Тогда ${\displaystyle V}$ — внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп ${\displaystyle \{1,a\}}$ и ${\displaystyle \{1,b\}}$.
• Пусть ${\displaystyle \langle a\rangle }$ — циклическая группа порядка ${\displaystyle mn}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — взаимно простые числа. Тогда ${\displaystyle \langle a^{n}\rangle }$ и ${\displaystyle \langle a^{m}\rangle }$ — циклические подгруппы порядков ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно, и ${\displaystyle \langle a\rangle }$ является внутренним прямым произведением этих подгрупп.
• Пусть ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения. Тогда ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ является внутренним прямым произведением круговой группы^[англ.] ${\displaystyle \mathbb {T} }$, состоящей из комплексных чисел с модулем ${\displaystyle 1}$, и группы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ положительных вещественных чисел с операцией умножения.
• Комплексная полная линейная группа ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
• Если ${\displaystyle n}$ — нечётное число, то вещественная полная линейная группа ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
• Аналогично, когда ${\displaystyle n}$ нечётно, ортогональная группа ${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$ является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы ${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$ и двухэлементной подгруппы ${\displaystyle \{-I,I\}}$, где ${\displaystyle I}$ обозначает единичную матрицу.
• Группа симметрии куба — внутреннее прямое произведение подгруппы вращений куба и двухэлементной группы ${\displaystyle \{-I,I\}}$, где ${\displaystyle I}$ — единичный элемент, а ${\displaystyle -I}$ — точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра.
• Пусть ${\displaystyle n}$ нечётно, и пусть ${\displaystyle D_{4n}}$ — диэдральная группа порядка ${\displaystyle 4n}$:

  ${\displaystyle D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .}$

  Тогда ${\displaystyle D_{4n}}$ является внутренним прямым произведением подгруппы ${\displaystyle \langle r^{2},s\rangle }$ (которая изоморфна ${\displaystyle D_{2n}}$) и двухэлементной подгруппы ${\displaystyle \{1,r^{n}\}}$.

Копредставления прямого произведения

Алгебраическая структура ${\displaystyle G\times H}$ может быть использована для копредставления прямого произведения с помощью копредставлений ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$. В частности, предположим, что

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \ }$ и ${\displaystyle \ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,}$

где ${\displaystyle S_{G}}$ и ${\displaystyle S_{H}}$ — (непересекающиеся) порождающие множества группы, а ${\displaystyle R_{G}}$ и ${\displaystyle R_{H}}$ — множества соотношений между порождающими. Тогда

${\displaystyle G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle }$

где ${\displaystyle R_{P}}$ — множество соотношений, определяющих, что каждый элемент в ${\displaystyle S_{G}}$ коммутирует с каждым элементом в ${\displaystyle S_{H}}$.

Например, если

${\displaystyle G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \ }$ и ${\displaystyle \ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle }$

то

${\displaystyle G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .}$

Нормальная структура

Как было упомянуто выше, подгруппы ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ нормальны в ${\displaystyle G\times H}$. В частности, можно определить функции ${\displaystyle \pi _{G}:G\times H\rightarrow G}$ и ${\displaystyle \pi _{H}:G\times H\rightarrow H}$ формулами

${\displaystyle \pi _{G}(g,h)=g~}$ и ${\displaystyle ~\pi _{H}(g,h)=h}$.

Тогда ${\displaystyle \pi _{G}}$ и ${\displaystyle \pi _{H}}$ являются гомоморфизмами проекции с ядрами ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle G}$ соответственно.

Из этого следует, что ${\displaystyle G\times H}$ — расширение ${\displaystyle G}$ при помощи ${\displaystyle H}$ (или наоборот). В случае, когда ${\displaystyle G\times H}$ — конечная группа, композиционные факторы^[англ.] группы ${\displaystyle G\times H}$ являются в точности объединением композиционных факторов группы ${\displaystyle G}$ и композиционных факторов группы ${\displaystyle H}$.

Дополнительные свойства

Универсальное свойство

Основная статья: Произведение (теория категорий)

Прямое произведение ${\displaystyle G\times H}$ может быть охарактеризовано следующим универсальным свойством. Пусть ${\displaystyle \pi _{G}:G\times H\rightarrow G}$ и ${\displaystyle \pi _{H}:G\times H\rightarrow H}$ — гомоморфизмы проекции. Тогда для любой группы ${\displaystyle P}$ и любых гомоморфизмов ${\displaystyle f_{G}:P\rightarrow G}$ и ${\displaystyle f_{H}:P\rightarrow H}$ существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle f:P\rightarrow G\times H}$, соответствующий следующей коммутативной диаграмме:

Иными словами, гомоморфизм ${\displaystyle f}$ задаётся формулой

${\displaystyle f(p)=(f_{G}(p),f_{H}(p))}$.

Это частный случай универсального свойства для произведений в теории категорий.

Подгруппы

Если ${\displaystyle A}$ — подгруппа ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle B}$ — подгруппа ${\displaystyle H}$, то прямое произведение ${\displaystyle A\times B}$ является подгруппой ${\displaystyle G\times H}$. Например, изоморфной копией ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle G\times H}$ является произведение ${\displaystyle G\times \{1\}}$, где ${\displaystyle \{1\}}$ — тривиальная подгруппа ${\displaystyle H}$.

Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ нормальны, то ${\displaystyle A\times B}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G\times H}$. Более того, факторгруппа прямых произведений изоморфна прямому произведению частных:

${\displaystyle (G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)}$.

Обратите внимание, что, вообще говоря, неверно, что каждая подгруппа из ${\displaystyle G\times H}$ является произведением подгруппы из ${\displaystyle G}$ на подгруппу из ${\displaystyle H}$. Например, если ${\displaystyle G}$ — любая нетривиальная группа, то произведение ${\displaystyle G\times G}$ имеет диагональную подгруппу^[англ.]

${\displaystyle \triangle =\{(g,g):g\in G\}}$

которая не является прямым произведением двух подгрупп ${\displaystyle G}$.

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса́^[англ.].

Сопряжённость и централизаторы

Два элемента ${\displaystyle (g_{1},h_{1})}$ и ${\displaystyle (g_{2},h_{2})}$ сопряжены в ${\displaystyle G\times H}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ сопряжены в ${\displaystyle G}$ и одновременно ${\displaystyle h_{1}}$ и ${\displaystyle h_{2}}$ сопряжены в ${\displaystyle H}$. Отсюда следует, что каждый класс сопряжённости в ${\displaystyle G\times H}$ является декартовым произведением класса сопряжённости в ${\displaystyle G}$ и класса сопряжённости в ${\displaystyle H}$.

Аналогично, если ${\displaystyle (g,h)\in G\times H}$, то централизатор ${\displaystyle (g,h)}$ является произведением централизаторов ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle C_{G\times H}(g,h)=C_{G}(g)\times C_{H}(h)}$.

Также центр ${\displaystyle G\times H}$ является произведением центров ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)}$.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются на прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если ${\displaystyle \alpha }$ — автоморфизм ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle \beta }$ — автоморфизм ${\displaystyle H}$, то произведение функций ${\displaystyle \alpha \times \beta :G\times H\rightarrow G\times H}$, определяемое формулой

${\displaystyle (\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))}$

является автоморфизмом ${\displaystyle G\times H}$. Из этого следует, что ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G\times H)}$ содержит в себе подгруппу, изоморфную прямому произведению ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)}$.

В общем случае неверно, что каждый автоморфизм ${\displaystyle G\times H}$ имеет вышеуказанный вид. Например, если ${\displaystyle G}$ — любая группа, то тогда существует автоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ группы ${\displaystyle G\times G}$, который меняет местами два множителя, то есть

${\displaystyle \sigma (g_{1},g_{2})=(g_{2},g_{1})}$.

Другой пример: группой автоморфизмов группы ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ является ${\displaystyle GL(2,\mathbb {Z} )}$ — группа всех матриц размера ${\displaystyle 2\times 2}$ с целочисленными значениями и определителем, равным ${\displaystyle \pm 1}$. Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов задаются как ${\displaystyle \alpha \times \beta }$.

В общем случае, каждый эндоморфизм ${\displaystyle G\times H}$ можно записать в виде матрицы размера ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — эндоморфизм ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \delta }$ — эндоморфизм ${\displaystyle H}$, а ${\displaystyle \beta :H\rightarrow G}$ и ${\displaystyle \gamma :G\rightarrow H}$ — гомоморфизмы. Эта матрица должна иметь свойство, что каждый элемент образа ${\displaystyle \alpha }$ коммутирует с каждым элементом образа ${\displaystyle \beta }$, а каждый элемент образа ${\displaystyle \gamma }$ коммутирует с каждым элементом образа ${\displaystyle \delta }$.

Когда ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ — неразложимые группы с тривиальными центрами, то группа автоморфизмов прямого произведения относительно проста: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)}$, если ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ не изоморфны, и ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)~wr~2}$, если ${\displaystyle G\cong H}$, где ${\displaystyle wr}$ обозначает сплетение^[англ.]^*. Это часть теоремы Крулля—Шмидта^[англ.], в более общем случае она справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более, чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп ${\displaystyle G_{1},...,G_{n}}$ прямое произведение

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}}$

определяется следующим образом:

• Элементами ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n}}$ являются кортежи ${\displaystyle (g_{1},...,g_{n})}$, где ${\displaystyle g_{i}\in G_{i}}$ для любого ${\displaystyle i}$.
• Операция на ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n}}$ определяется покомпонентно:

  ${\displaystyle (g_{1},...,g_{n})(g'_{1},...,g'_{n})=(g_{1}g'_{1},...,g_{n}g'_{n})}$.

Оно обладает множеством свойств, которыми обладает прямое произведение двух групп, и может быть алгебраически охарактеризовано аналогичным образом.

Бесконечные прямые произведения

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп ${\displaystyle G_{1},G_{2},...}$ это можно определить точно так же, как для конечного прямого произведения, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными кортежами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i\in I}}$ прямое произведение ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i}}$ определяется следующим образом:

• Элементы ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i}}$ — это элементы бесконечного декартова произведения множеств ${\displaystyle G_{i}}$; т. е. элементы бесконечного декартова произведения можно понимать как функции ${\displaystyle f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}G_{i}}$ с таким свойством, что ${\displaystyle f(i)\in G_{i}}$ для любого ${\displaystyle i}$.
• Произведение двух элементов ${\displaystyle f,g}$ определяется покомпонентно:

  ${\displaystyle (f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)}$.

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i}}$ не порождается элементами изоморфных подгрупп ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i\in I}}$. Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма, которая состоит из всех элементов, имеющих лишь конечное число неединичных компонентов.

Другие произведения

Полупрямые произведения

Основная статья: Полупрямое произведение

Напомним, что группа ${\displaystyle P}$ с подгруппами ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ изоморфна прямому произведению ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Пересечение ${\displaystyle G\cap H}$ является тривиальной группой.
2. Каждый элемент из ${\displaystyle P}$ можно однозначно представить как произведение элемента из ${\displaystyle G}$ и элемента из ${\displaystyle H}$.
3. И ${\displaystyle G}$, и ${\displaystyle H}$ являются нормальными в ${\displaystyle P}$.

Полупрямое произведение ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ должна быть нормальной. Полученное произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар ${\displaystyle (g,h)}$, но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, не требуя ни от одной из подгрупп нормальности. В этом случае группа ${\displaystyle P}$ называется произведением Заппы—Сепа^[англ.] групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$.

Свободные произведения

Основная статья: Свободное произведение

Свободное произведение групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$, обычно обозначаемое как ${\displaystyle G*H}$, похоже на прямое произведение, за исключением того, что подгруппы ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ группы ${\displaystyle G*H}$ не обязаны коммутировать. А именно, если

${\displaystyle G=\langle ~S_{G}~|~R_{G}~\rangle }$ и ${\displaystyle H=\langle ~S_{H}~|~R_{H}~\rangle }$,

являются копредставлениями ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$, то

${\displaystyle G*H=\langle ~S_{G}\cup S_{H}~|~R_{G}\cup R_{H}~\rangle }$.

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. К тому же свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Свободное произведение, как ни странно, является копроизведением в категории групп.

Подпрямые произведения

Основная статья: Подпрямое произведение

Если ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ — группы, то подпрямым произведением ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ является любая подгруппа ${\displaystyle G\times H}$, которая отображается сюръективно в ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ под действием гомоморфизмов проекции. Согласно лемме Гурса^[англ.], каждое подпрямое произведение является расслоённым.

Расслоённые произведения

Основная статья: Расслоённое произведение

Пусть ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle Q}$ — группы, и пусть ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow Q}$ и ${\displaystyle \chi :H\rightarrow Q}$ — гомоморфизмы. Расслоённое произведение ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ над ${\displaystyle Q}$ представляет собой следующую подгруппу ${\displaystyle G\times H}$:

${\displaystyle G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\}}$.

Если ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow Q}$ и ${\displaystyle \chi :H\rightarrow Q}$ — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.

Примечания

1. Джозеф Галлиан. Современная абстрактная алгебра. — 7-е изд.. — Cengage Learning, 2010. — 157 с. — ISBN 9780547165097.

Литература

• Майкл Артин. Алгебра. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 978-0-89871-510-1.
• Израиль Натан Херштейн. Абстрактная алгебра. — 3-е изд. — Сэддл Ривер, Нью Джерси: Prentice Hall Inc., 1996. — ISBN 978-0-13-374562-7.
• Израиль Натан Херштейн. Topics in algebra. — 2-е изд. — Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, 1975.
• Серж Ленг. Алгебра. — исправленное 3-е изд. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 978-0-387-95385-4.
• Серж Ленг. Undergraduate algebra. — 3-е изд. — Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-0-387-22025-3.
• Дерек Джон Скотт Робинсон. Курс теории групп. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-0-387-94461-6.