Произведение Кулкарни — Номидзу

Произведение Кулкарни — Номидзу определяется для двух (0,2)-тензоров и даёт в результате (0,4)-тензор. Это произведение позволяет выразить тензор кривизны с нулевым тензором Вейля через тензора кривизны Риччи.

Обычно обозначается ${\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}}$.

Определение

Если ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$ — (0,2)-тензоры, то произведение определяется как:

${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=h(X_{1},X_{3})\cdot k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})\cdot k(X_{1},X_{3})-}$

${\displaystyle -h(X_{1},X_{4})\cdot k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})\cdot k(X_{1},X_{4})}$

где X_j векторы основного пространства.

Примеры

• Если риманово многообразие имеет постоянную секционную кривизну ${\displaystyle k}$ то его тензор кривизны ${\displaystyle R}$ выражается из метрического тензора ${\displaystyle g}$ следующим образом:

  ${\displaystyle R={\frac {k}{2}}\cdot g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g}$

См. также

• Кривизна римановых многообразий

Ссылки

• Бессе, Артур. Многообразия Эйнштейна, II том. — М.: Мир, 1990. — 384 с. — 4250 экз. — ISBN 5-03-002066-7.
• Gallot, S., Hullin, D., and Lafontaine, J. Riemannian Geometry (неопр.). — Springer-Verlag, 1990.