Примитивный элемент конечного поля

Примитивным элементом конечного поля ${\displaystyle GF(p^{m})}$ называется всякий первообразный корень степени ${\displaystyle p^{m}-1}$, то есть всякий генератор мультипликативной группы этого поля.

Свойства

• Если ${\displaystyle \alpha }$ — примитивный элемент поля ${\displaystyle GF(p^{m})}$, то любой другой примитивный элемент может быть получен как степень ${\displaystyle \alpha ^{k}}$, где k — целое число, взаимно простое с ${\displaystyle p^{m}-1}$. Поэтому количество различных примитивных элементов в поле ${\displaystyle GF(p^{m})}$ равно значению функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (p^{m}-1)}$.
• Минимальный многочлен примитивного элемента поля ${\displaystyle GF(p^{m})}$ называется примитивным многочленом над полем ${\displaystyle GF(p)}$.

См. также

• Многочлен над конечным полем